03파형 수학 · 상호 스펙트럼 밀도

상호 스펙트럼 밀도의 수학

파형 관계를 이해하기 위한 수학 과정의 3번째 주제에 포함된 강의입니다.

교차 스펙트럼 밀도(CSD) 플롯의 주요 용도는 두 변수 사이에 관계가 있는지 확인하는 것입니다. 주파수 영역 대역에서 주파수 영역에서 곱해진 신호 쌍의 전력을 표시합니다. 주파수 f1에서 주파수 f2까지의 CSD 곡선 아래 영역은 해당 주파수 대역의 전력(RMS)입니다.

CSD는 한 쌍의 신호에서 상호 공진 주파수를 찾는 데 사용할 수 있습니다.

교차 스펙트럼 밀도 정의

"교차 스펙트럼 밀도"라는 용어의 각 단어는 CSD의 필수 구성 요소를 나타냅니다.

  • 교차: 두 신호가 서로 반대편에 있는 것처럼 분석됩니다.
  • 스펙트럼: CSD는 주파수의 함수입니다. 이는 무지개가 파장(색상) 스펙트럼에 걸쳐 빛의 분포를 나타내는 것처럼 주파수 스펙트럼에 걸쳐 교차 신호의 분포를 나타냅니다.
  • 밀도: 특정 주파수 대역(주파수 f1부터 주파수 f2까지)의 전력은 해당 대역의 CSD 곡선 아래에 위치합니다.

CSD 통계 보기

CSD는 다른 신호(y)와 관련하여 신호(x)의 영향을 보여줍니다. 다음은 몇 가지 예입니다.

  • 값이 0인 CSD를 갖는 신호 쌍은 상관 관계가 없습니다. 예를 들어, 지구의 반대편에 있는 작은 가진기를 사용하여 수행한 시험에서 얻은 두 신호는 서로 영향을 미치지 않습니다.
  • CSD가 평탄하지만 0이 아닌 경우 x와 y는 상관 관계가 없습니다. 그러나 두 신호는 동일한 신호이거나 거의 동일한 신호입니다.
  • CSD에 "메인 로브"가 있는 경우 신호 쌍에는 어느 정도 상관 관계가 있습니다. 일반적으로 주엽이 넓을수록 쌍의 상관관계는 더 커지고, 주엽의 폭이 좁을수록 쌍의 상관관계는 더 커집니다.
  • 헤르츠(Hz) 단위의 일부 주파수(F)에서 스파이크가 있는 CSD는 신호 쌍이 1/F초마다 주기적으로 상관되어 있음을 나타냅니다. 상관 관계는 F의 공진 주파수로 인해 발생할 수 있습니다.
  • CSD가 상당히 평평한 경우 샘플은 대부분 상관 관계가 없습니다.
  • 0Hz에서 단일 스파이크가 있는 CSD는 두 신호 모두에 큰 DC 오프셋이 존재하기 때문에 발생할 가능성이 높습니다.
  • 중간 폭의 메인 로브가 있는 CSD는 한 신호의 샘플이 시간상 가까운 곳에 위치한 다른 샘플과 상관 관계가 있지만 시간이 지나면서 상관 관계가 감소한다는 것을 나타냅니다.

CSD 및 PSD

CSD와 전력 스펙트럼 밀도(PSD)는 밀접한 관련이 있습니다. PSD는 CSD의 특별한 경우입니다. CSD에 의해 분석된 신호 x와 y가 동일한 경우(x=y) CSD는 PSD입니다.

PSD와 마찬가지로 실제 CSD는 알 수 없지만 추정할 수 있습니다. Welch의 방법을 사용하여 CSD를 추정할 수 있습니다.

교차 스펙트럼 밀도 Sxy(f) 및 상호 상관 Cxy(n)

CSD는 한 쌍의 랜덤 시퀀스의 통계적 속성입니다. 이는 언제든지 서로 다른 주파수(스펙트럼)에 걸친 전력 분포를 나타냅니다.

시간이 지나면서 바뀔 수 있는 기능이기도 합니다. 실제로, 장치가 변경되거나(예: 변형, 금속 피로 경험 또는 완전한 분해) 가진기에 대한 시험 신호 출력이 변경되는 경우(예: 충격 시험) 시험 대상 장치(DUT)의 출력 신호의 통계적 특성은 시간이 지남에 따라 변경될 가능성이 높습니다.

공식적으로 신호 쌍 x와 y의 CSD Sxy(f)는 상호 상관 Cxy(m,n)의 푸리에 변환입니다. 여기서, "푸리에 변환"은 이산시간 푸리에 변환(DTFT), 이산 푸리에 변환(DFT) 또는 이에 상응하는 고속 푸리에 변환(FFT)을 의미할 수 있습니다.

상호 상관 함수

상호 상관 함수 Cxy(n)는 다음과 같이 정의됩니다.

(1) \begin{방정식*} C_{xy}(n,n+m)=E[x(n)y(n+m)] \end{방정식*}

여기서 E[x(n)]는 확률 변수 Z=x(n)y(n+m)의 예상 값입니다. 기대값은 Z의 확률 밀도 함수(PDF)(예: 2차원 가우스/정규 분포, 레일리 분포 등)로 정의됩니다.

그러나 통계적 속성이 특정 시간 간격 동안 변경되지 않으면 해당 시간 간격 동안의 신호는 고정되어 있습니다. 이 경우 Cxy(n,n+m)=E[ x(n) y(n+m) ]는 Cxy(m) = E[x(0) y(m)]로 단순화됩니다. 왜냐하면 통계적 특성은 절대 시간 n이 아니라 시간 차이 m에 의존하기 때문입니다.

신호 x(n)과 y(n)이 흰색이고 고정되어 있고 DC 바이어스가 없으며(E[x(n)]=E[y(n)]=0) 상호 상관되어 있는 경우 상호 상관 Cxy(m)은 다음과 같은 이유로 m=0에서 "스파이크"가 되고 다른 모든 곳에서는 0이 됩니다.

(2) \begin{방정식*} C_{xy}(0)=E[x(0)y(0)] \end{방정식*}

 x(0)과 y(0)의 공분산 또는 "스파이크"

(3) \begin{방정식*} C_{xy}(m)=E[x(0)y(m)]=E[x(0)]E[y(m)] \end{방정식*}

 n=0이 아닌 m의 경우 0x0

이 경우 Sxy(f)는 공분산에 비례하는 크기를 갖는 평평한 선이 됩니다. x와 y가 상관되지 않은 경우(통계적으로 관련되지 않음, 공분산=0) 0의 푸리에 변환이 0이기 때문에 Cxy(n)=0이고 Sxy(f)=0입니다.

실제 CSD 추정

실제 시험 시나리오의 경우 실제 CSD는 언제든지 알 수 없으며 장치의 분자 수준을 조사하지 않고는 계산할 수 없습니다. 그러나 CSD가 시간에 따라 변하지 않는 경우(데이터가 고정되어 있는 경우) 실제 CSD를 추정할 수 있습니다.

추정 방법

정상 데이터 시퀀스(통계적으로 변경되지 않음)의 CSD를 추정하는 몇 가지 표준 방법이 있습니다. 모든 방법과 일반적인 통계는 먼저 샘플을 수집한 다음 해당 샘플을 기반으로 추정치를 계산하는 방식에 따라 달라집니다.

아마도 업계에서 가장 일반적인 CSD 추정 방법은 Peter Welch의 1967년 논문을 기반으로 한 Welch의 방법일 것입니다. 이 방법에서는 데이터 시퀀스가 ​​동일한 길이의 여러 분석 프레임으로 구분됩니다. 프레임은 겹칠 수 있습니다(ObserVIEW에서 0%, 50% 또는 75%의 겹침 비율로).

FFT는 각 프레임에서 수행되며 FFT 연산의 각 요소 쌍(x(n) 및 공액 y(n))은 "전력" 개념에 따라 곱해집니다. 마지막으로 곱해진 FFT 세그먼트의 평균을 구해 추정된 CSD를 산출합니다.

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