DSP 미적분 | 신호처리의 기초

많은 경우 물리적 세계는 차등 관계에 의해 지배됩니다. 예를 들면:

차별화(d/dt)는 디지털 신호 프로세서(DSP)(이산 기능 또는 시퀀스)가 아닌 아날로그 세계 또는 연속 기능을 위해 구축되었습니다. 정의에 따르면:

(1) $\begin{방정식*} \frac{d}{dt}x(t)=\lim_{h\to0}\frac{x(t)-x(t-h)}{h} \end{방정식*}$

x(t)가 연속이면 x(t)와 x(t-h)는 더 가까워질 수 있고 h는 0에 가까워질 수 있습니다. 그러나 x(n)이 이산이면 가장 작은 h는 1이고 분자가 얻을 수 있는 가장 가까운 것은 x(n)-x(n-1)입니다.

즉, 디지털 미분의 분해능은 샘플링 속도 F에 의해 제한됩니다._s.

연속 미분에 비해 이산 미분은 얼마나 정확합니까? 주파수 영역에서 비교하는 것이 도움이 됩니다.

d/dt의 푸리에 변환은 다음과 같은 이유로 iΩ입니다.

d/dt의 푸리에 변환

y(n)=x(n)-x(n-1)의 z 변환은 Y(z) = X(z) – z입니다.^-1X(z). 따라서:

(2) $\begin{방정식*} \frac{Y(z)}{X(z)}=1-z^{-1}=\frac{z-1}{z} \end{방정식*}$

DFT의 경우 z=e^iω. 따라서 y(n)=x(n)-x(n-1)의 z 변환은 Y(z) = X(z) – z입니다.^-1X(z) 및:

y(n)=x(n)-x(n-1)의 z 변환

두 가지 크기를 비교하기 위해 플롯팅할 수 있습니다.

푸리에 변환과 z 변환 미분 방법의 비교

디지털 미분은 낮은 주파수에서 더 정확합니다.

통합을 위해 유사한 분석을 수행할 수 있습니다. 여기서 푸리에 변환은 -i/iΩ입니다. 두 가지 디지털 방식은 합산을 이용한 적분과 사다리꼴 법칙을 이용한 적분이다.

합산을 사용한 적분

시험 조건을 실제 장비에 적용해 보세요.