카이제곱 분포 | 랜덤 시험

카이제곱( $\chi^2$ ) 분포는 확률변수 제곱합의 분포입니다. 다른 응용 프로그램 중에서 정규 분포에서 랜덤 변수의 분산에 대한 신뢰 구간을 추정할 수 있습니다.

카이제곱 분포 N 자유도( $\chi^2_{N}$ )는 평균값( $\mu$ )는 0 및 분산( $\시그마^2$ )는 1과 같습니다.

그림 3.14는 $\chi^2_{N}$ 다양한 값에 대한 확률밀도함수(PDF) N. 다음과 같이 N 무한대에 가까워지고 $\chi^2_{N}$ 분포는 정규분포와 수렴합니다. 모든 $\chi^2_{N}$ 분포, 평균값은 μ = N, 분산은 σ² = 2.

$chi^2_{N} x2의 N 값 합계에 대한 분포$

그림 3.14. $\chi^2_{N}$ x2의 N 값 합계에 대한 분포입니다.

수식 16은 PDF 공식이며, 여기서 Γ는 감마 함수입니다.

(1) $\begin{방정식*} \chi^2_{N} = \frac {x^{(\frac{N}{2} - 1)}e^{-\frac {x}{2}}} {2^\frac{N}{2} \Gamma (\frac{N}{2})} \end{방정식*}$

수학식 16

평균 제곱을 평가하는 제곱 값은 다음과 같습니다. $\chi^2_{1}$ 배포됨. 그림 3.15는 그림 3.2의 자동차 진동 신호를 사용하여 이를 보여줍니다. 분포는 단순화된 공식에서 볼 수 있듯이 작은 값 쪽으로 크게 편향되어 있습니다. $\chi^2_{1}$ (수식 17).

(2) $\begin{방정식*} \chi^2_{1} = \frac {1}{\sqrt{2\pi x}}e^{-\frac{x}{2}} \end{방정식*}$

수학식 17

$chi^2_와 비교한 그림 3.2의 제곱 자동차 진동 데이터 PDF{1}$

그림 3.15. 그림 3.2의 제곱 자동차 진동 데이터 PDF를 다음과 비교했습니다. $\chi^2_{1}$ .

신뢰구간

차이는 평균 제곱 값에서 파생됩니다. 그러므로, $\chi^2_{N}$ 분포는 분산에 대한 신뢰 구간을 결정할 수 있습니다.

표준편차가 σ인 랜덤 변수 x의 경우_x, 다음의 합 N 값 제곱에는 σ가 있습니다._x²χ₁² 배포. 따라서 분산은 σ를 갖습니다._x²χ₁²/N 분포.

$\chi^2_{N}$ 분포가 대칭이 아니므로 분산에 대한 추정된 신뢰 구간이 대칭이 아닙니다. 그림 3.16에서 $N / \chi^2_{N}$ 는 플롯에 있습니다. N 다양한 신뢰 수준. 그러면 분산에 대한 신뢰 구간은 다음과 같이 구간으로 표시됩니다.

(3) $\begin{방정식*} \left(\frac {N\sigma^2_{x}}{\chi^2_{lower}}, \frac {N\sigma^2_{x}}{\chi^2_{upper}}\right), \text {적절한 e 신뢰 수준 사용} \end{방정식*}$

$작은 표본 크기에 대한 chi^2_{N} 분포를 사용한 신뢰 구간$

그림 3.16. 다음을 사용한 신뢰 구간 $\chi^2_{N}$ 작은 표본 크기에 대한 분포입니다.

의 경우 N > 100이면 정규 분포를 사용할 수 있습니다. 분산 추정의 표준편차는 √입니다.2/N σ_x², 그림 3.13의 (대칭) 신뢰 구간을 사용할 수 있습니다.

신뢰구간

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