신뢰구간 | 랜덤 시험

평균값과 같은 확률변수의 점추정을 계산할 때 추정의 가능한 오류를 결정하는 것이 가능합니다. 추정의 신뢰 수준과 관련된 신뢰 구간을 평가하여 이를 수행할 수 있습니다.

신뢰 구간과 신뢰 수준은 함께 작동합니다. 신뢰 수준이 높을수록 더 넓은 간격이 필요합니다. 마찬가지로 신뢰 수준이 낮을수록 간격이 좁아집니다.

신뢰 구간 값의 예입니다. 왼쪽의 간격 값은 <±σ입니다. 오른쪽은 >±1.5σ입니다. 왼쪽 구간에 대한 신뢰 수준은 오른쪽 구간에 대한 신뢰 수준보다 낮습니다.

신뢰 구간 계산

독립확률변수를 합산할 때는 평균값과 분산을 합산해야 합니다. 예를 들어, 독립확률변수 A와 B를 합산하는 경우:

(1) $\begin{방정식*} \overline{A+B}=\frac{1}{N}\sum(A+B)=\bar{A}+\bar{B} \end{방정식*}$

수식 12

(2) $\begin{align*} \sigma_{A+B}^2=\frac{1}{N}\sum(A-\mu_{A}+B-\mu_{B})^2\\ =\frac{1}{N}\sum[(A-\mu_{A})^2+2(A-\mu_{A})(B-\mu_{B})+(B-\mu_{B})^2]\\ =\sigma_{A}^2+0+\sigma_{B}^2 \end{align*}$

수식 13

수식 13은 평균값의 표준편차를 결정할 수 있습니다(x) 다음에서 계산됨 N 랜덤 변수(x) 알려진 표준 편차(s_x). 합계 x 에는 다음과 같은 변화가 있습니다. Ns_x² 및 표준편차는 다음과 같습니다. $\sqrt{N}s_{x}$ . 값을 나누는 방법 N 의 표준편차를 계산합니다. x 의 결과는 방정식 14입니다.

(3) $\begin{방정식*} \sigma_{\bar{x}}=\frac{\sigma_{x}}{\sqrt{N}} \end{방정식*}$

수학식 14

신뢰도 수준

수학식 14는 다음을 가정하여 추정 평균값의 신뢰 구간을 결정할 수 있습니다. x 정규 분포를 따릅니다. 신뢰 구간은 구간의 확률 또는 신뢰 수준에 따라 달라집니다. 이는 값이 특정 표준 편차(σ) 내에 있을 확률에 의해 결정됩니다. _x) 실제 평균(μ). 지역 아래 그래프의 P 는 신뢰 수준을 나타냅니다.

신뢰도 수준

그림 3.12에서 신뢰 수준은 다음의 함수입니다. z, 이는 실제 평균과의 표준 편차 수입니다. 따라서 신뢰구간은 ±σ _x 신뢰도 수준은 68%입니다. 95% 신뢰구간은 ±2σ _x, 99.7% 신뢰 구간은 ±3σ입니다. _x등. 방정식 14에서 →σ _x 다음과 같이 N→∞.

그림 3.12. 추정 평균값에 대한 신뢰 수준과 신뢰 구간입니다.

중심극한정리 때문에 평균값 추정을 위해 거의 항상 정규분포를 가정합니다. 4개의 값을 평균하여 계산한 평균값의 예를 사용하면 균일분포(-0.5, 0.5)의 표준편차는 0.144이다. 정규 분포를 가정하면 95% 신뢰 구간은 ±0.288입니다. 실제로 95% 신뢰구간은 0.24이다.

T-분포

작은 데이터 샘플의 평균 및 표준 편차 값에 대한 신뢰 구간을 결정하는 것이 더 복잡합니다. 이러한 경우에는 t-분포를 사용하는 것이 일반적입니다. T-분포는 표본 분포의 불확실성 증가로 인해 동일한 신뢰 수준에 대해 더 큰 신뢰 구간을 제공합니다.

의 경우 N > 표본이 3개인 경우 표본 평균의 분산은 다음 비율만큼 증가합니다.N – 1) / (N – 3)을 방정식 13과 비교합니다. 그림 3.13은 수정된 숫자(t_값) 표준편차 σ _x 샘플 수의 함수로 다양한 신뢰 수준에 대한 신뢰 구간을 계산합니다. 방정식 15는 실제 평균에 대한 추정치를 제공합니다.

(4) $\begin{방정식*} \mu=\bar{x}\pm t_{값}\sigma_{\bar{x}}=\bar{x}\pm t_{값}\frac{\sigma_{x}}{\sqrt{N}},\text{신뢰 수준 }t_{값} \end{방정식*}$

수학식 15

N > 50인 경우 t-분포는 정규 분포로 수렴하며 그림 3.13은 유효한 옵션입니다.

그림 3.13. 작은 표본 크기에 대한 t-분포를 사용한 신뢰 구간.

신뢰 구간 설명에는 신뢰 수준이 누락되는 경우가 많습니다. 많은 경우 신뢰수준을 95%로 가정하고 약 ±2σ의 신뢰구간을 사용한다. 이는 주어진 백분율 결과에 플러스/마이너스 백분율 오차 한계가 추가되는 많은 여론 조사에서 사실입니다. 설문 조사에서 N 응답자의 표준 편차는 σ = 0.5/로 가정됩니다.N^1/2, 따라서 ± 4%의 오차 한계(신뢰 수준 95%)는 간단히 말해서 대략 다음을 의미합니다. N = 1/(0.04)² = 625명이 설문조사에 참여했습니다(4% = 0.04 = 2σ = 1/ N^1/2).

신뢰 구간 계산

신뢰도 수준

T-분포

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