중심극한정리 | 랜덤 시험

중심 극한 정리는 N개의 랜덤 변수로 구성된 여러 세트의 합(또는 평균)이 N이 증가함에 따라 정규 분포를 향해 이동할 것이라고 명시합니다. 프랑스 수학자 라플라스는 1810년에 여러 일반적인 경우에 대해 이 정리를 증명했습니다[2].

Laplace는 또한 일련의 난수 평균의 표준 편차에 대한 표현식을 도출했습니다. 이 식은 가우스가 정규 분포를 유도하기 위해 가정한 것을 확증해주었습니다.

중심극한정리의 예

중심 극한 정리의 가장 간단하고 주목할만한 예는 동전 던지기입니다. "진짜" 동전이 N번 뒤집힌 경우 q개의 앞면이 발생할 확률은 이항 분포(수학식 11)로 제공됩니다.

(1) $\begin{방정식*} P(q)=\frac{N!}{2^N(N-q)!q!} \end{방정식*}$

수학식 11

그림 3.10은 6번의 동전 던지기에 대한 정규 분포와 비교한 이항 분포의 히스토그램입니다. 6번만 던진 경우에도 두 분포 간에는 좋은 일치가 있습니다. 그러나 정규 분포의 꼬리는 가능한 q 값을 넘어 확장됩니다.

그림 3.10. 6번의 동전 던지기에서 앞면이 q개 나올 확률입니다.

1733년 프랑스 수학자 드 무아브르는 분포 간의 이러한 일치를 발견했습니다. 그는 큰 N 값에 대한 번거로운 계산을 위한 근사치로 다음 방정식을 사용했습니다. 그러나 그는 이를 다른 경우로 일반화하지 않았다.

(2) $\begin{방정식*} \left(\frac{2}{\pi N}\right)^{1/2}e^{-(2/N)(q-2/2)^2} \end{방정식*}$

랜덤 변수 평균화

또 다른 예는 -0.5와 0.5 사이에 균일하게 분포되는 확률 변수 x의 평균입니다. 이 분포는 측정의 불확실성 범위일 수 있습니다. 더 많은 랜덤 변수가 평균에 추가됨에 따라 정규 분포로 점진적으로 수렴됩니다(그림 3.11).

그림 3.11. 균일하게 분포된 확률 변수의 평균 PDF입니다.

PDF의 크기가 선형 척도일 때 분포 꼬리에서 무슨 일이 일어나고 있는지 명확하지 않습니다. 이러한 명확성 부족은 크기를 로그 눈금으로 표시하여 수정할 수 있습니다. 이렇게 하면 균일하게 분포된 확률 변수 4개의 평균과 정규 분포 사이의 큰 편차가 분포의 꼬리에 표시됩니다. 피로 분석과 같이 신호의 극값이 제품의 동작을 이해하는 데 중요한 경우 이러한 편차는 중요합니다.

중심극한정리의 예

랜덤 변수 평균화

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