정규(가우스) 분포

정규 분포 또는 "가우스" 분포는 통계 분석에서 중요한 확률 함수입니다. 더 잘 알려진 또 다른 이름은 종형 곡선입니다. 방정식 9는 가우스 확률 밀도 함수(PDF) p(x)를 정의합니다.

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수식 9

그림 3.6은 정규화된 가우스 PDF를 표시합니다. 여기서 μ는 평균이고 σ는 변수 x의 표준 편차입니다. 평균값과 표준편차는 가우스 분포를 정의합니다. 분포는 대칭이므로 왜도는 0이고 첨도는 3입니다.

역사적 배경

독일 수학자 칼 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)는 1809년 행성과 혜성의 운동에 관한 모노그램에서 가우스 분포의 기본 형태를 도출했습니다.

e 함수 사용 ^–kδ2 랜덤 오류의 분포를 나타냅니다(δ) 측정에서(여기서 k 는 축척 인자임), Gauss는 데이터 피팅의 최소 제곱법이 가장 가능성 있는 결과를 생성했음을 증명할 수 있었습니다. 그는 또한 일련의 측정값의 평균값에 이러한 랜덤 오류가 있는지 통계적으로 확인하기 위해 분포를 사용했습니다. 신뢰구간.)

가우스 분포 및 랜덤 시험

많은 통계 분석에서는 랜덤 진동 시험을 포함하여 데이터의 가우스 분포를 가정합니다. 랜덤 파형의 통계는 분포 함수를 정의합니다. 가장 주목할만한 점은 데이터 세트의 통계가 함수의 처음 4개 중심 적률(평균, 분산, 왜도 및 첨도)을 정의한다는 것입니다.

1. 평균: 평균 가속도 값입니다.
2. 분산: 평균과의 차이 제곱의 평균입니다.
3. 왜도: 평균에 대한 가속도 값의 확산입니다.
4. 첨도: 평균에서 가속도 피크의 편차입니다.

최신 진동 제어기는 제어 신호에 가우스 분포가 있다고 가정합니다. 즉 왜도는 0이고 첨도는 3입니다. 이 가정은 파형의 피크 가속도가 평균에서 ±3σ를 초과하는 경우 잠재적으로 오류로 이어질 수 있습니다. 그러나 이 과정의 목적에 따라 랜덤 진동이 가우스 분포를 갖는다고 가정할 수 있습니다.

누적 분포 함수(CDF)

누적 분포 함수(CDF)는 또 다른 확률 분포 함수입니다. CDF는 x가 설정 값 X보다 작을 확률을 표시하며 종종 P(x < X)로 표시됩니다. 그림 3.7은 정규 분포에 대한 CDF를 표시합니다.

수학적으로는 방정식 10으로 표현됩니다. 여기서 erf(…)는 오류 함수입니다.

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수학식 10

그래픽적으로 방정식은 다음 이미지에서 영역 P로 표시됩니다. PDF 곡선 아래의 전체 면적은 정의에 따라 1과 같습니다.

확률 도표

CDF를 그리는 또 다른 방법은 수직 축 눈금을 변환하여 정규 분포를 위한 직선을 생성하는 것입니다. 결과를 정규 확률도라고 합니다. 이 플롯을 사용하면 데이터가 정규 분포를 따르는지 시각적으로 확인하는 것이 더 쉽습니다.

'옛날'에는 그래프 용지에 손으로 그래프를 그리던 시절에는 확률 그래프 용지라는 표준 형식이 있었습니다(그림 3.8). 대부분의 컴퓨터 그래프 프로그램에는 이 기능이 없기 때문에 CDF 값을 다시 일반 Z 값으로 매핑한 다음 이 값과 실제 값을 비교하여 유사한 그래프를 구성할 수 있습니다.

그림 3.9는 그림 3.1과 3.3의 자동차 진동 및 난류 압력 데이터를 사용한 정규 확률 플롯의 예입니다. 직선 대각선은 정규 분포를 나타냅니다.

자동차 진동 데이터는 정규 분포를 밀접하게 따르는 반면, 난류 압력 데이터는 분포의 두 끝에서 크게 벗어납니다.