코히어런스의 수학 | 파형 관계를 이해하기 위한 수학

코히어런스는 신호 쌍(x 및 y)이 통계적으로 얼마나 밀접하게 관련되어 있는지를 나타냅니다. 이는 x가 y에 얼마나 밀접하게 응집되거나 "고착"되는지를 나타냅니다.

즉, 코히어런스는 x에서의 이벤트와 y에서의 이벤트가 서로 얼마나 많은 영향을 미치는지 나타냅니다. 코히어런스의 크기는 항상 0(영향 없음)과 1(직접 영향) 사이입니다.

수학적 문헌에서는 두 가지 코히어런스 함수를 정의합니다.

복잡한 코히어런스:

(1) $\begin{방정식*} C_{xy}(f)=\frac{\hat{S}_{xy}(f)}{\sqrt{\hat{S}_{xx}(f)\hat{S}_{yy}(f)}} \end{방정식*}$

일반적인 코히어런스:

(2) $\begin{방정식*} \gamma_{xy}^2(f)=\frac{|\hat{S}_{xy}(f)|^2}{\hat{S}_{xx}(f)\hat{S}_{yy}(f)} \end{방정식*}$

여기서:

Sxx(f)는 x의 전력 스펙트럼 밀도(PSD)입니다.
Syy(f)는 y의 PSD이고,
Sxy(f)는 x와 y의 교차 스펙트럼 밀도(CSD)입니다.

두 가지 정의 중 일반적인 코히어런스가 문헌에서 더 일반적입니다. 그러나 일반적인 코히어런스는 복소 코히어런스의 크기 제곱입니다(γxy2(f)= |Cxy(f)|2). 따라서 일반적인 코히어런스는 보다 일반적인 복합 코히어런스의 특별한 경우입니다.

코히어런스 적용

실제 사용에서 코히어런스에는 두 가지 주요 용도가 있습니다.

먼저, 전달함수에서 관찰된 피크가 측정 노이즈로 인한 스파이크가 아니라 시험 중인 장치의 공진 주파수라는 신뢰도를 확립합니다. 예를 들어, 전달함수의 주파수 f에서 피크가 관찰된다고 가정합니다. 그런 다음:

일반적인 코히어런스		복잡한 코히어런스	설명
• γxy2(f) ≥ 0.70	또는	\|Cxy\| ≥ 0.85	피크가 공진 주파수라는 높은 신뢰도입니다.
• γxy2(f) ≤ 0.50	또는	\|Cxy\| ≤ 0.707	피크가 공진 주파수일 가능성은 없습니다.
·0.50 < γxy2(f) < 0.70	또는	0.707 < \|Cxy\| < 0.85	피크가 공진 주파수일 가능성이 다소 높습니다.

코히어런스는 주파수 f에서 시스템의 선형성을 측정하는 역할도 합니다. 1에 가까운 일반적인 코히어런스 값은 시스템이 주파수 f에서 선형 시불변임을 나타냅니다. 0에 가까운 일반적인 코히어런스 값은 시스템이 비선형이거나 시간에 따라 통계적으로 변화하거나 둘 다임을 나타냅니다.

공진 내에서 코히어런스가 떨어지면 판단을 내리기 전에 주변 코히어런스 값을 평가해야 합니다.

실습 예시

가속도계가 다양한 주파수에 걸쳐 x 및 y 방향의 가속도를 측정할 수 있는 진동 시험 설정으로 시작합니다. 그림 2.1, 2.2, 2.3의 이미지로 표시된 그래프를 생성합니다.
x 가속도와 y 가속도 사이의 스펙트럼 관계를 확인하려면 전달함수 추정기 Ĥ1 및 Ĥ2를 사용하십시오.
435Hz 부근에서는 ±1과 ±2 모두 눈에 띄는 이득을 나타냅니다. 처음에는 435Hz가 Hxy의 공진 주파수라고 가정할 수 있습니다.
그러나 복소 코히어런스는 0.007과 동일하며 이는 435Hz가 공진 피크가 아닐 가능성이 있음을 나타냅니다.
반대로, 5330Hz의 피크는 해당 부근에 높은 코히어런스 값이 있기 때문에 공진 주파수를 나타내는 것으로 보입니다.

그림 2.1. Ĥ1 전달함수 그래프.

그림 2.2. Ĥ2 전달함수 그래프.

그림 2.3. Cxy 복합 코히어런스 그래프.

수학적 세부사항

선형성의 척도로서의 코히어런스

많은 경우에 신호 x는 시스템(예: 기계 장치 또는 접지와 같은 시험 중인 장치)에 대한 입력을 나타낼 수 있습니다. 신호 y는 출력을 나타낼 수 있습니다.

이 시스템에 대한 임펄스가 응답 h[n]("임펄스 응답")을 초래하고 이 응답의 이산시간 푸리에 변환(DTFT)이 H(Ω)라고 가정합니다. 시스템이 선형 시불변(LTI)인 경우:

(3) $\begin{방정식*} S_{xy}(\omega)=H(\omega)S_{xx}(\omega), S_{yy}(\omega)=|H(\omega)|^2S_{xx}(\omega) \end{방정식*}$

코히어런스는 다음과 같습니다.

(4) $\begin{방정식*} |C_{xy}(\omega)|\triangleq\left|\frac{S_{xy}(\omega)}{\sqrt{S_{xx}(\omega)S_{yy}(\omega)}}\right|\text{ 코히어런스의 정의 }C_{xy}(\omega) \end{등식*}$

(5) $\begin{방정식*} =\left|\frac{H(\omega)S_{xx}(\omega)}{\sqrt{S_{xx}(\omega)S_{yy}(\omega)}}\right| \end{등식*}$

(6) $\begin{방정식*} =\frac{|H(\omega)|S_{xx}(\omega)}{\sqrt{S_{xx}(\omega)S_{yy}(\omega)}} \end{방정식*}$

(7) $\begin{방정식*} =\frac{|H(\omega)|S_{xx}(\omega)}{\sqrt{S_{xx}(\omega)|H(\omega)|^2S_{xx}(\omega)}} \end{방정식*}$

(8) $\begin{방정식*} =1 \end{방정식*}$

선형 시불변 시스템의 경우 일반 코히어런스 γxy2(f)는 모든 주파수에 대해 1이 됩니다. 반대로 코히어런스가 1보다 작으면 LTI가 아닙니다. 그리고 γxy2(f)가 특정 주파수에서만 1인 경우 시스템은 해당 주파수에서 LTI입니다.

전달함수 H1에 대한 신뢰도의 척도로서의 코히어런스

시스템이 주파수 응답에 대해 선형 시불변인 경우(Sxy(Ω) = H(Ω) Sxx(Ω) ), H(Ω) = Sxy(Ω)/Sxx(Ω)입니다. 이것이 전달함수 H1이다. 추정기 H1이 얼마나 "좋은"지 측정하려면 일반 코히어런스 함수 γxy2(f)를 확인하세요. γxy2(f)가 모든 주파수에 대해 1이거나 이에 가깝다면 Hxy1(f)는 좋은 Hxy1 추정량이 될 가능성이 높습니다. γxy2가 0에 가까우면 Hxy1 추정기의 품질에 대한 신뢰도가 훨씬 낮아집니다.

H1과 H2 사이의 거리를 측정하는 코히어런스

보통 코히어런스 함수 γxy2(f)는 Hxy1과 Hxy2 사이의 "거리"를 측정하는 것으로 볼 수도 있습니다. 그 이유는 다음과 같습니다.

(9) $\begin{방정식*} \gamma_{xy}^2=\frac{|S_{xy}|^2}{[S_{xx}S_{yy}]}=\frac{S_{xy}S_{xy}}{S_{xx}S_{yy} }=\frac{[\frac{S_{xy}(f)}{S_{xx}}]}{[\frac{S_{yy}}{S_{xy}}]}=\frac{H_{1}}{H_{2}} \end{등식*}$

(10) $\begin{방정식*} \text{As 0} \leq \gamma_{xy}^2(f) \leq 1, 0 \leq |\frac{H_{1}}{H_{2}}| \leq 1, \text{then } |H_{1}(f)| \leq |{H_{2}(f)}| \end{등식*}$

보통 코히어런스 함수를 사용하면 |H1(435)|=19와 |H2(435)|=607 사이의 거리가 매우 커집니다. 이는 다음 방정식에 반영됩니다.

(11) $\begin{방정식*} \gamma_{xy}^2(435)=|C_{xy}(435)|^2=(0.007)^2=(0.0098)^2=\left(\frac{19}{607}\right)^2=\left(\frac{|H_{1}|}{|H_{2}|}\right)^2 \end{방정식*}$