03파형 수학 · 전달함수

스케일 전달함수 추정기

파형 관계를 이해하기 위한 수학 과정의 1번째 주제에 포함된 강의입니다.

스케일링된 전달함수 추정기 Ĥs(f)는 스케일링 계수 s를 사용한 시스템의 실제 전달함수 추정치입니다(여기서 0 ≤ s ≤ ).

스케일링 계수 s는 Ŝ = Ŝyy / Ŝxx가 되는 입력 잡음 전력에 대한 출력 잡음 전력의 비율입니다. 이는 Ŝxx(f) 및 Ŝyy(f)가 주파수 f에 대해 일정하다고 가정합니다(x 및 y는 백색 잡음 시퀀스입니다.)

Ĥs는 전달함수 추정기 Ĥ1, Ĥ2 및 Ĥv의 일반화입니다.

Ĥs는 다음과 같이 정의됩니다.

(1) \begin{방정식*} \frac{\~{S}_{yy}(\omega)-s^2\~{S}_{xx}(\omega) + \sqrt{[\~{S}_{yy}(\omega)-s^2\~{S}_{xx}(\omega)]^2 + 4s^2|\~{S}_{xy}(\omega)|^2}}{2\~{S}_{xy}(\omega)} \end{방정식*}

대체 형식

"분모 합리화"(또는 이 경우 "분자 합리화") 기술을 사용하여 스케일링된 전달함수 추정기에 대한 대체적이고 유용한 형식에 도달할 수 있습니다. 특히, 분자와 분모에 합리화 인자를 곱하면…

(2) \begin{방정식*} {S}_{yy}(\omega)-s^2{S}_{xx}(\omega) - \sqrt{[{S}_{yy}(\omega)-s^2{S}_{xx}(\omega)]^2 + 4s^2|{S}_{xy}(\omega)|^2}} \end{등식*}

…다음 방정식에 도달할 수 있습니다.

(3) \begin{방정식*} \hat{H}_{s}(\omega) = \frac{2S_{xy}(\omega)}{S_{xx}(\omega)-\frac{1}{s^2}S_{yy}(\omega)+\sqrt{[S_{ xx}(\omega)-\frac{1}{s^2}S_{yy}(\omega)]^2+4\frac{1}{s^2}|S_{xy}(\omega)|^2}} \end{등식*}

게다가 분자와 분모를 s²로 나누면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

(4) \begin{방정식*} \hat{H}_{s}(\omega) = \frac{2s^2S_{xy}(\omega)}{s^2S_{xx}(\omega)-S_{yy}(\omega)+\sqrt{[s^2S_{xx}(\omega)-S_{yy}(\omega)]^2+4s^2|S_{xy}(\omega)|^2}} \end{방정식*}

특수 사례

Ĥ1, Ĥ2, Ĥv는 스케일링된 전달함수 추정기의 특별한 경우입니다. Ĥs의 정의를 사용하면 다음과 같습니다.

  • Ĥs=0 = Ĥ2
  • Ĥs=1 = Ĥy

두 번째 대체 형식을 사용하면 Ĥs→∞ = Ĥ1임을 알 수 있습니다.

전달함수, H 대 배율 계수, s, 제곱

그림 1.5. 전달함수 H와 배율 계수 s의 제곱 비교.

MATLAB® 리소스

페웰치(…)

전력 스펙트럼 밀도를 추정합니다.

cpsd(…)

교차 전력 스펙트럼 밀도를 추정합니다.

MATLAB 코드의 예

  clear                     % clear all variables
  format long g;            % set format of text output
  N       = 16;             % length of input data sequence
  Fs      = 1;              % sample rate (used for scaling)
  percent = 50;             % percent overlap
  Nfft = N * (1-percent/100);
  x= [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0]';
  y= [0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0]';
%---------------------------------------------------------------------------
% smoothing window
%----------------------------------------------------------------------------
  window = hanning(Nfft);   % Hanning     window
%----------------------------------------------------------------------------
% calculate estimates
%----------------------------------------------------------------------------
[Syx,freq]=cpsd(  x,y,window,Noverlap,Nfft,Fs);      % estimate Syx
[Sxx,freq]=pwelch(x,  window,Noverlap,Nfft,Fs);      % estimate Sxx
[Syy,freq]=pwelch(  y,window,Noverlap,Nfft,Fs);      % estimate Syy>
% |     |     |   | |   |       |       |   |_________ sample rate
% |     |     |   | |   |       |       |_____________ estimate length
% |     |     |   | |   |       |_____________________ num. overlapping positions
% |     |     |   | |   |_____________________________ window type
% |     |     |   | |_________________________________ data sequence y
% |     |     |   |___________________________________ data sequence x
% |     |     |_______________________________________ estimation operation
% |     |_____________________________________________ x-axis sequence
% |___________________________________________________ estimate sequence
%----------------------------------------------------------------------------
% estimate scaling parameters
%----------------------------------------------------------------------------
  s = var(y)/var(x) % this is 'not' a recommended way to estimate s!
%----------------------------------------------------------------------------
% estimate Hs
%----------------------------------------------------------------------------
  Hs = estimate_Hs(s,Sxx,Syy,Sxy);
%----------------------------------------------------------------------------
% function to estimate Hs
%----------------------------------------------------------------------------
function Hs = estimate_Hs(s,Sxx,Syy,Sxy)
   u1 = Syy;
   u2 = s * Sxx;
   u3 = (s * Sxx - Syy) .* (s * Sxx - Syy);
   u4 = abs(Sxy) .* abs(Sxy);
   v1 = 2.0 * Sxy;
   Hs = (u1 - u2 + sqrt(u3 + 4 * s * u4)) ./ v1;
end

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