시간 이력 파일에서 PSD 계산하기

진동 연구 소프트웨어는 PSD(전력 스펙트럼 밀도)를 추정하기 위해 Welch의 방법을 사용합니다. 이 방법은 FFT(고속 푸리에 변환) 알고리즘을 전력 스펙트럼 추정에 적용합니다.

자신의 방법과 관련하여 Peter D. Welch는 "이 방법의 주요 장점은 계산 수와 필요한 코어 저장 공간이 줄어들고 비정상성 시험에 편리하게 적용할 수 있다는 점입니다."라고 말했습니다.¹

많은 프로그램이 Welch의 방법을 구현하는 이유는 FFT가 계산상 효율적이기 때문입니다.² 프로세스는 가우스 분포 시간 영역 입력 데이터, 즉 시간 기록 파일로 시작됩니다.

요약: FFT를 사용하여 PSD 계산

• 데이터를 시간상 동일한 길이의 프레임으로 분할
• FFT를 사용하여 각 프레임을 주파수 영역으로 변환
• 각 주파수 지점의 크기(전력 값)를 제곱하여 주파수 영역 데이터를 전력으로 변환합니다.
• 각 프레임의 제곱 크기 평균
• 평균을 샘플링 속도로 나누어 PSD를 단일 헤르츠(Hz) 대역폭으로 정규화합니다.

윈도우잉 및 오버랩을 포함하여 몇 가지 추가 요소가 최종 PSD에 영향을 미칩니다. 각 단계를 더 자세히 살펴보겠습니다.

주파수 영역으로 이동

그림 2.8은 시간 기록 파일에 있는 5초의 가우스 분포 랜덤 진동 데이터를 보여줍니다. 최대 가속도는 약 -30G인 것으로 보입니다.

진동 데이터를 다른 관점으로 보려면 주파수 영역에서 볼 수 있습니다. 주파수 영역으로 이동하려면 FFT와 PSD라는 두 가지 계산이 필요합니다.

고속 푸리에 변환(FFT)

FFT는 시간 영역 데이터를 주파수 영역으로 변환합니다. 이 변환 자체에는 본질적으로 윈도우화, 평균화 또는 정규화가 포함되지 않으며 단순히 데이터를 주파수 구성 요소로 변환합니다.

엔지니어는 주파수 성분의 변화를 실시간으로 관찰하거나 시간 기록 파일을 분석하는 등 주파수 스펙트럼을 모니터링하기 위해 FFT 그래프를 자주 사용하지만 FFT만으로는 에너지 분포에 대한 정보를 제공하지 않습니다.

주파수 스펙트럼 전반에 걸친 에너지 분포를 분석하기 위해 FFT에서 전력 스펙트럼 밀도(PSD)를 계산합니다. PSD는 주파수에 따라 에너지가 어떻게 분포되는지를 정량화하여 신호의 전력 함량을 더욱 명확하게 이해할 수 있도록 해줍니다. 이로 인해 PSD는 주파수 전반의 에너지 분포가 시스템 동작 및 성능에 영향을 미치는 진동 시험에 일반적으로 사용되는 도구입니다.

시간 기록 파일에서 PSD 계산

PSD를 계산하는 단계는 다음과 같습니다.

1. 시간 기록 파일을 동일한 시간 길이의 프레임으로 나눕니다.

먼저 시간이력 파일을 동일한 시간 길이의 프레임으로 분할한다. 해상도와 샘플링 속도에 따라 각 프레임의 너비가 결정됩니다. 분석 라인당 두 개의 샘플이 있습니다.

그림 2.9에서 기록된 시간 이력은 8,192Hz, 4,096라인의 분해능으로 샘플링되었습니다. 결과 프레임 너비는 1초였습니다. 해상도 값이 1,024라면 프레임 너비는 0.25초가 됩니다.

2(2n)의 지수적 샘플링 속도를 사용하면 일반적으로 편리한 간격으로 선이 배치된 PSD가 생성됩니다. 이는 초기 샘플 속도를 선택할 때 기억하는 것이 중요합니다.

참고: 해상도 조정에 대한 자세한 내용은 다음 리소스 검토를 고려하십시오. 랜덤 해상도 조정 기술 노트.

2. 윈도우 함수를 적용한 후 각 프레임에 대한 FTT를 계산합니다.

FFT는 데이터를 무한 계열로 간주하여 각 프레임의 시작점과 끝점을 인접한 것처럼 해석합니다. 그러나 랜덤 데이터는 무한 계열이 아니므로 FFT를 계산하기 전에 각 프레임에 창 함수를 적용해야 합니다.

창 기능이 없으면 프레임의 시작점과 끝점 간의 차이로 인해 급격한 전환이나 불연속성이 발생할 수 있습니다. 이러한 불연속성은 FFT에서 고주파 에너지로 나타나는 일시적인 스파이크를 생성하여 스펙트럼 누출이라는 ​​현상을 초래합니다.

스펙트럼 누출은 불연속성의 영향을 증폭시켜 FFT 계산의 정확성에 영향을 미칩니다. 창 기능을 적용하면 이러한 전환에 대한 강조가 줄어들어 스펙트럼 누출이 최소화되고 FFT의 데이터 표현이 향상됩니다.

이상적으로는 각 프레임의 시작점과 끝점이 완벽하게 정렬됩니다. 실제 데이터에서는 이러한 경우가 거의 없기 때문에 불연속성과 스펙트럼 분석에 대한 영향을 최소화하려면 창 기능이 필요합니다(그림 2.10).

창

여러 창 기능이 있습니다. 가장 적합한 것을 선택하는 것은 응용 분야에 따라 다릅니다. 창 함수는 두 가지 주요 구성 요소로 평가됩니다.

• 사이드 로브: 주파수 영역에서 누출에 영향을 미칩니다.
• 메인 로브: 주파수 분해능에 영향을 미칩니다.

그림 2.10은 해닝 창 함수를 보여줍니다. 회색 파형은 원래 파형이고 주황색 파형은 윈도우가 적용된 데이터입니다.

해닝 창의 주요 특징:

• 높고 넓은 메인 로브
• 거의 0에 있는 측엽
• 시작점과 끝점 사이의 불연속성을 최소화하여 정확한 주파수 측정이 가능합니다.

Hanning 및 Blackman 창 기능은 진동 시험에서 가장 일반적입니다. 두 기능 모두 주파수 분해능이 좋고 불연속성이 최소화되어 누출이 최소화됩니다. 다른 창 기능은 다른 응용 프로그램에 적합할 수 있습니다.

일반적인(그리고 흔하지 않은) 창 기능의 전체 목록을 보려면 창 기능 세부 정보 표를 확인하세요.

각 프레임에 대한 FFT 계산

윈도우가 적용된 데이터를 사용하여 각 프레임에 대해 FFT를 계산함으로써 신호를 시간 영역에서 주파수 영역으로 변환합니다(그림 2.11 참조). 이 선형 변환을 통해 시간 기록 파형의 주파수 내용을 관찰할 수 있습니다.

3. 각 프레임의 개별 FFT를 제곱하고 평균을 구합니다.

다음으로 각 프레임의 개별 FFT를 제곱하고 평균 제곱 진폭을 찾습니다(그림 2.12).

PSD는 일정 기간 동안 단일 주파수의 평균 에너지를 표시합니다. 처음에는 분산 또는 "해시성"이 있습니다. 평균이 유사한 데이터의 더 많은 프레임을 수집할수록 전체 분산은 감소하고 정확도는 증가하며 PSD는 훨씬 더 매끄럽게 나타납니다.

PSD에 포함된 총 시간은 자유도(DOF)라는 평균 매개변수와 관련이 있습니다. 함께 평균화되는 데이터 프레임이 많을수록 DOF가 높아집니다.

간단히 말하면 FFT가 많을수록 더 나은 PSD가 생성됩니다. 그러나 FFT 수가 많으면 수집하고 계산하는 데 더 많은 시간이 필요합니다.

참고: 자유도에 대한 자세한 내용은 다음 리소스를 검토해 보세요.

• 통계 자유도(DOF) 기술 노트
• DOF 계산기

4. 계산을 단일 헤르츠로 정규화

마지막으로 알고리즘은 평균 제곱 FFT를 가져와 이를 단일 헤르츠로 정규화하고 PSD가 결정됩니다(그림 2.13). 가속의 경우 결과 단위는 G2/Hz입니다.

PSD를 사용하면 시험 중인 장치의 응답이 명확해집니다. 더 많은 데이터 프레임이 PSD에 추가될수록 분산은 계속 감소하고 PSD는 더 매끄러워집니다.

PSD 스무딩의 분산과 방법을 더 자세히 살펴보려면 Instant Degrees of Freedom에 대한 비디오를 시청하세요. iDOF^® 는 분산을 빠르고 효과적으로 줄이고 부드러운 PSD를 생성하는 진동시험 기술 과정의 기능입니다. 이는 짧은 시간 내에 부드러운 PSD 추적을 표시하기 위한 수학적으로 타당한 유일한 방법입니다.

고려해야 할 추가 매개변수

겹침

중첩은 필수는 아니지만 PSD 계산 중에 엔지니어가 자주 사용하는 추가 기술입니다. 이는 PSD에 더 많은 초기 데이터를 포함하고 정의된 기간 내에 더 많은 자유도를 생성합니다.

겹침이 0%이면 데이터의 각 프레임이 완전히 분리됩니다. 프레임이 겹치는 경우 적용된 창 기능으로 인해 각 프레임의 일부 데이터가 고려되지 않습니다. PSD의 각 데이터 프레임에 대해 전체 평균에 대해 2개의 자유도가 계산됩니다.

예

다음을 사용하여 PSD를 생성하는 경우:

• 중복률 0%
• 120 DOF
• 8,192Hz 샘플링 속도
• 4,096라인의 해상도
• 해닝 윈도우 기능(1초 프레임)

120도의 자유도를 달성하려면 평균 60초 분량의 데이터가 필요합니다.

겹침이 50%인 경우 각 프레임의 시작 사이에는 0.5초가 있지만 각 프레임의 길이는 여전히 1초입니다. 프레임이 겹쳐지면 FFT당 2DOF가 발생하지 않습니다. 50% 중첩은 FFT당 약 1.85 DOF를 초래합니다. 75% 중첩은 FFT당 약 1.2 DOF가 됩니다.

따라서 50% 오버랩, 120 DOF, 8,192Hz, 4,096 라인의 해상도 및 Hanning 윈도 PSD의 경우 32.4초 만에 64.8 프레임에서 원하는 PSD를 달성할 수 있습니다.

오버랩이 0%인 원래 예에서는 5개의 데이터 프레임이 있었고 결과적으로 5개의 FFT가 발생했습니다. 그림 2.14에 표시된 50% 중첩을 통해 동일한 데이터 섹션에서 9개의 FFT가 생성됩니다.

해결의 선

PSD 계산에서 고려해야 할 마지막 매개변수는 해상도 선입니다. 샘플링 속도와 함께 분해능 값의 선은 각 분석 지점이 PSD에서 얼마나 떨어져 있는지를 결정합니다. 값이 높을수록 PSD가 더 정확해지지만 더 많은 수의 샘플이 필요합니다.

많은 시험 표준에서는 피크를 적절하게 표시하기 위해 공진에 대한 특정 분해능 값 라인이 필요합니다. PSD에 너무 적은 수의 라인이 사용되면 결과는 파형을 언더샘플링하는 것과 비슷합니다. 즉, 분석 지점 사이의 거리가 너무 멀어지고 그 사이의 간격이 적절하게 고려되지 않습니다. 공진을 적절하게 해결하려면 최소 3개 이상의 분해능 요구 사항이 필요합니다.