FFT와 디지털 샘플링

FFT(고속 푸리에 변환)는 James Cooley와 John Tukey가 개발한 컴퓨터 알고리즘입니다.¹ 알고리즘은 시퀀스를 나타내는 푸리에 급수에 대한 계수를 계산합니다.

(1) $\begin{방정식*} x(t) = \bar{x} + \sum_{i=1}^{\infty}{[C_{i}\cos(2 \pi f_{i} t)} + S_{i}\sin(2 \pi f_{i} t)]} \end{방정식*}$

수식 1

샘플 수(N)는 FFT에서 2의 정수 거듭제곱이어야 합니다. 따라서 N = 2^p, 여기서 p 은 양의 정수입니다. 이 규칙은 푸리에 급수의 계수를 계산하는 데 필요한 곱셈 횟수(따라서 계산 시간)를 최소화합니다.

푸리에 급수는 시간 신호 x(t)를 코사인파와 사인파의 합으로 나타냅니다. 여기서 x̅은 평균값입니다. 이론적으로 이 합계에는 무한한 수의 항이 있습니다. 실제로는 샘플링 속도에 의해 제한됩니다. FFT에서 사용 가능한 주파수는 샘플링 속도의 1/2 미만으로 제한됩니다. 나이퀴스트 주파수( f_q)는 시스템 샘플링 속도의 절반을 나타냅니다.

디지털 샘플링 및 잠재적인 불연속성

샘플 수는 종종 다음과 같이 표시됩니다. N = 1k, 2k, 4k 등, 여기서 k = 1024. 0부터 시작하는 샘플 번호를 지정하는 것이 일반적이므로 샘플에 라벨이 지정됩니다. x_n, n = 0, … , 7.

예를 들어, 그림 2.15의 포인트 샘플 N = 8을 생각해 보세요. 샘플은 Δt = 0.5msec만큼 시간 간격을 두고 있으므로 SR = 1 / Δt = 2000샘플/초입니다.

이 디지털 샘플의 총 지속 시간은 T = N *Δt = 4.0msec입니다. 그러나 N개의 샘플이 t = 0에서 시작한다고 가정하기 때문에 T = 4.0msec에는 샘플이 없습니다. 푸리에 급수는 신호가 시간 T에서 주기적이라고 가정하므로 정의에 따라 T의 샘플은 첫 번째 샘플과 동일한 값이 됩니다(그림 2.15의 점선으로 표시).

임의의 랜덤 신호의 경우에는 그렇지 않으므로 잠재적인 오류가 발생합니다. 디지털화된 신호의 끝과 추정된 주기적 반복의 시작 사이의 불연속성은 윈도우잉 수업에서 다룹니다.

이 예에서 사용 가능한 주파수는 그림 2.16에 나와 있습니다. 여기서 FFT는 진폭 계수를 결정합니다. C_i 그리고 S_i. 모든 코사인파와 사인파를 결정된 계수와 합하면 샘플링된 지점에서 신호가 정확히 복제됩니다.

그림 2.15. 디지털 방식으로 샘플링된 시간 신호. 여기서 디지털 샘플은 빨간색 점으로 표시되고 x(t)는 파란색 점선으로 표시됩니다.

그림 2.16. 그림 2.15의 신호를 나타내는 데 사용되는 코사인 및 사인파 세트.

푸리에 급수 계수 결정

각 푸리에 계수는 방정식 1에 관련 코사인 또는 사인파를 곱하여 결정됩니다. 그러면 이들 제품의 평균 가치는 N 샘플이 계산됩니다. 결과는 방정식 2입니다. 여기서 f_j = j / T, j = 1, …, N/2 – 1.

(2) $\begin{방정식*} \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1}{[C_{i}\cos(2 \pi f_{j} t_{n}) * x_{n}]} = \frac{1}{2}C_{j} \end{방정식*}$

(3) $\begin{방정식*} \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1}{[S_{i}\sin(2 \pi f_{j} t_{n}) * x_{n}]} = \frac{1}{2}S_{j} \end{방정식*}$

수식 2

수식 2의 우변은 단순화된 버전이다. 두 개의 서로 다른 코사인/사인파를 곱한 평균값은 0입니다. 코사인/사인파 자체의 곱의 평균값은 1/2입니다. 이러한 단순화에서는 FFT의 경우와 같이 정수 사이클 수에 걸쳐 평균이 수집된다고 가정합니다.

수식 2의 왼쪽을 완성하려면 많은 곱셈이 필요합니다. FFT 알고리즘에서는 N 는 2의 정수 거듭제곱이며 이러한 계산 중 많은 부분이 중복됩니다. FFT 계산 알고리즘의 세부 사항에 대한 자세한 내용은 참조를 참조하세요.²

장형 방정식을 사용하여 푸리에 급수 계수 계산

수식 2의 긴 버전을 사용하여 푸리에 급수 계수를 계속 계산하면 다음이 제공됩니다.

(4) $\begin{방정식*} x(t)=x0, x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7 = 1, 2, 0, -1, -3, -2, 1, -1 \end{방정식*}$

(5) $\begin{방정식*} \bar{x}=(x0 + x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7)/N = -0.375 \end{방정식*}$

(다음과 같이 계산됩니다. C₀ at f₀ = FFT에서는 0)

(6) $\begin{방정식*} C_{1}=\frac{2}{N}(x0+\sqrt{2}x1-\sqrt{2}x3-x4-\sqrt{2}x5+\sqrt{2}x7)=1.707; f_{1}=\frac{1}{T}=250Hz \end{방정식*}$

(7) $\begin{방정식*} S_{1}=\frac{2}{N}(\sqrt{2}x1+x2+\sqrt{2}x3-\sqrt{2}x5-x6-\sqrt{2}x7)=-0.457 \end{방정식*}$

(8) $\begin{방정식*} C_{2}=\frac{2}{N}(x0-x2+x4-x6)=-0.75; f_{2}=\frac{2}{T}=500Hz \end{방정식*}$

(9) $\begin{방정식*} S_{2}=\frac{2}{N}(x1-x3+x5-x7)=-0.5 \end{방정식*}$

(10) $\begin{방정식*} C_{3}=\frac{2}{N}(x0-\sqrt{2}x1+\sqrt{2}x3-x4+\sqrt{2}x5-\sqrt{2}x7)=0.293; f_{3}=\frac{3}{T}=750Hz \end{방정식*}$

(11) $\begin{방정식*} S_{3}=\frac{2}{N}(\sqrt{2}x1-x2+\sqrt{2}x3-\sqrt{2}x5+x6-\sqrt{2}x7)=0.957 \end{방정식*}$

이러한 계산은 계산의 중복성을 보여줍니다. 일부 FFT 알고리즘(예: Excel의 알고리즘)은 계산 시 2/N을 곱하지 않습니다. 대신 방정식 2의 합계 값만 반환합니다.

신호의 PSD 계산

PSD 값은 각 주파수에서 FFT의 평균 제곱 진폭을 주파수 간격 Δ로 나눈 값입니다.f = 1 / T (식 3). 값은 f₀ = 0은 다음과 같이 주어진 평균값을 나타내기 때문에 다르게 계산됩니다. C₀ (cos(0) = 1이므로).

(12) $\begin{방정식*} PSD_{x}(0) = \frac {C_{0}^2}{\Delta f} \end{방정식*}$

(13) $\begin{방정식*} PSD_{x}(f_{j}) = \frac {0.5(C_{j}^2 + S_{j}^2)}{\Delta f}; j=1, \dots, N/2-1 \end{방정식*}$

수식 3

그림 2.17은 그림 2.15의 PSD를 표시하며, 여기서 A는 단위 x를 나타냅니다. 각 PSD 값은 연관된 FFT 주파수를 중심으로 하는 주파수 대역과 연관되어 있습니다. 주파수 대역폭은 Δf와 같습니다(대역폭이 Δf/2인 f = 0 제외).

그림 2.17. 그림 2.15의 신호 PSD.

FFT는 다음 값을 계산합니다. N 주파수, f_j = j /T, j = 0, …, N–1, 그러나 PSD에는 첫 번째 항목만 필요합니다. N/2 값. 추가적으로 신호는 x(t) 나이퀴스트 주파수보다 높은 주파수 성분이 없도록 디지털 샘플링 전에 저역 통과 필터가 필요합니다. 그렇지 않으면 FFT 계산에 오류가 발생합니다. 이 아이디어는 다음에서 더 자세히 논의됩니다. 앨리어싱 수업.

평균 제곱, 표준 편차 및 RMS 복구

시간 신호의 평균 제곱, 표준 편차 및 RMS 값은 PSD에서 대략적으로 복구할 수 있습니다. PSD는 푸리에 계열 구성 요소의 평균 제곱 값입니다. 따라서 신호의 평균 제곱은 PSD 값을 합산하고 주파수 대역폭 Δf = 1 / T를 곱하여 구합니다(식 4).

(14) $\begin{방정식*} \bar{x^2} = \Delta f * \sum_{j=0}^{N/2-1} PSD_{x}(f_{j}) \end{방정식*}$

수식 4

RMS 값은 x의 평균 제곱근으로 제공됩니다.

(15) $\begin{방정식*} x_{rms} = \sqrt{\frac{1}{n}(x_{1}^2 + x_{2}^2,\dots, + x_{n}^2)} \end{방정식*}$

표준편차는 다음과 같이 계산됩니다.

(16) $\begin{방정식*} \sigma = \sqrt{\bar{x^2} - (\bar{x})^2} \end{방정식*}$

표 1은 그림 2.15의 신호와 그림 2.17의 PSD에서 계산된 값을 비교합니다. FFT는 T에서 추정된 신호 값을 사용하는 반면, 신호 샘플로부터의 계산은 사용하지 않기 때문에 작은 차이가 있습니다. 이에 대해서는 Windowing 수업에서 자세히 설명합니다.

표 1. 신호와 PSD에서 계산된 값의 비교.

	x 사용_n	PSD 사용
평균 제곱값, x̅2̅	2.625	2.609
평균 제곱값, x̅	– 0.375	– 0.375
표준편차, σ	1.576	1.571

참고: 많은 랜덤 진동 신호에서 평균값은 0으로 가정되므로 x_rms = σ. 이 예에서는 그렇지 않습니다.