PSD 계산 방법 | 랜덤 시험

신호의 전력 스펙트럼 밀도(PSD)를 계산할 때 주파수 스펙트럼을 결정하는 것이 필수적입니다. 엔지니어는 1807년에 이 방법을 발명한 수학자 Joseph Fourier의 이름을 딴 푸리에 급수를 사용하여 그렇게 할 수 있습니다.

푸리에 계열

푸리에 급수는 길이 T의 모든 신호 x가 일련의 사인파와 코사인파의 합으로 구성될 수 있다는 원리를 기반으로 하며, 각각은 T에서 정수 주기 수를 갖습니다. 수학적으로 이는 다음과 같이 작성됩니다.

(1) $\begin{방정식*} x(t)=A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}[A_{n}\cos(2\pi f_{n}t)+B_{n}\sin(2\pi f_{n}t)] \end{방정식*}$

수식 1

어디 f₁ = 1 / T 그리고 f_i = i f₁. C_i 그리고 S_i 는 결정될 푸리에 계수입니다. 그림 2.6은 이를 그래픽으로 보여줍니다.

그림 2.6. 시간 신호의 푸리에 급수 구성.

실제로는 신호 x 는 다음의 시퀀스로 디지털화됩니다. N 숫자(x_n, n = 1 ~ N) 시간 간격 Δt 샘플 간(그림 2.7)

그림 2.7. 시간 신호의 디지털화.

푸리에 계수

수식의 양변을 곱하여 각 푸리에 계수의 값을 결정할 수 있습니다. (1) 해당 사인파 또는 코사인파를 통해 평균값을 계산합니다. N = T/Δt. 예를 들어 방정식 2는 다음의 값을 결정합니다. C₃₇.

(2) $\begin{방정식*} \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}\cos(2\pi f_{37}t_{n})x_{n} \end{방정식*}$

(3) $\begin{방정식*} =\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}\cos(2\pi f_{37}t_{n})\left(\bar{x}+\sum_{i=1}^{\infty}[C_{i}\cos(2\pi f_{i}t_{n})+S_{i}\sin(2\pi f_{i}t_{n})]\right) \end{방정식*}$

수식 2

다음 합계는 평균값을 계산하고 t_n = n Δt:

(4) $\begin{방정식*} \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}--- \end{방정식*}$

이 절차는 서로 다른 사인 및 코사인 함수가 서로 독립적이기 때문에 작동합니다. 즉, 그림 2.3에 설명된 것처럼 두 가지 다른 함수의 곱의 평균값은 0과 같습니다. 방정식 2의 항은 다음을 제외하고 평균값이 0입니다. C₃₇. 그런 다음:

(5) $\begin{방정식*} \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\cos(2\pi f_{37}t_{i})x_{i} \end{방정식*}$

(6) $\begin{방정식*} =\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}A_{37}\cos(2\pi f_{37}t_{i})^2 \end{방정식*}$

(7) $\begin{방정식*} =\frac{1}{2}A_{37} \end{방정식*}$

수식 3

수식 3에서 코사인파의 평균 제곱 값은 사용된 값의 1/2입니다(그림 2.2 참조). 일반적으로 계수는 다음 방정식(수학식 4)에 의해 결정됩니다.

(8) $\begin{방정식*} C_{0}=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}x_{n} \end{방정식*}$

(9) $\begin{방정식*} C_{i}=\frac{2}{N}\sum_{n=1}^{N}\cos(2\pi f_{i}t_{n})x_{n} \end{방정식*}$

(10) $\begin{방정식*} S_{i}=\frac{2}{N}\sum_{n=1}^{N}\sin(2\pi f_{i}t_{n})x_{n} \end{방정식*}$

수식 4

고속 푸리에 변환

역사적으로 방정식 4의 합계 계산은 Cooley와 Tukey가 FFT(고속 푸리에 변환)로 알려진 효율적인 알고리즘을 발표한 1965년까지 매우 시간이 많이 걸렸습니다.

그들의 알고리즘은 다음의 시퀀스를 사용합니다. N 디지털 샘플 N 는 2의 거듭제곱입니다(예: 2, 4, 8, 16, 32 등). FFT에서 분해할 수 있는 가장 높은 주파수는 다음과 같습니다. f_q = 1 / (2 Δt )Hz(나이퀴스트 주파수라고 함)이므로 N / 2개의 주파수 값. 신호 x 디지털화하기 전에 저역 통과 필터로 조절하여 위의 주파수가 f_q 이(가) 제거되었습니다.

FFT는 푸리에 계수 값을 계산합니다. C_i 그리고 S_i. 평균 제곱 진폭은 ( C_i² + S_i² ) / 2. 주파수 분해능은 Δ이므로f = 1 / T = 1 / ( N Δt ), PSD는 평균 제곱 진폭을 Δ로 나누어 1Hz 대역폭으로 정규화됩니다.f.

(11) $\begin{방정식*} PSD_{x}(f_{n})=\frac{1}{2}(A^2_{n}+B^2_{n})/\Delta{f} \end{방정식*}$

수식 5

PSD 생성 프로세스에서는 다양한 FFT 계산 세부 사항을 다루어야 합니다. 이러한 FFT 세부 정보에는 디지털 시간 샘플링, 앨리어싱, 윈도우잉, 주파수 분해능 및 평균화가 포함됩니다.

푸리에 계열

푸리에 계수

고속 푸리에 변환

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