윈도 처리

푸리에 급수는 신호가 시간 T에서 주기적이라고 가정합니다. 신호가 0에서 N – 1까지 N 샘플로 디지털화되면 푸리에 급수는 다음 샘플(N)이 첫 번째(0)와 동일한 값이 될 것이라는 결론을 내립니다.

이 시나리오는 대부분의 진동 신호에 해당되지 않습니다. 따라서 일반적으로 디지털화된 신호의 끝과 추정된 주기적 반복의 시작 사이에 불연속성이 존재합니다. 이러한 불연속성으로 인해 고속 푸리에 변환(FFT) 알고리즘으로 인해 인공 잡음이 생성됩니다.

불연속 및 누출

그림 2.19는 두 사인파의 간단한 사례를 사용하여 이러한 불연속성을 보여줍니다. 첫 번째 파동은 샘플링된 시간 T = 0.512초에 맞습니다. 정수 사이클 수(주기적 시간). 두 번째는 약간 어긋나 있어(시간이 비주기적) FFT에서 시간의 불연속성과 잡음을 생성합니다.

사인파의 이론적 전력 스펙트럼 밀도(PSD)는 해당 주파수에서의 임펄스입니다. 비주기적 신호로 인한 불연속성은 누설이라고 하는 인접 주파수에 의사 진폭을 생성합니다.

PSD 플롯은 PSD의 대역폭을 숨기더라도 선 함수입니다. 이는 주파수 지점이 많기 때문에 일반적입니다.

창

누설을 완화하기 위해 엔지니어는 FFT를 계산하기 전에 시간 샘플의 시작과 끝 부분에서 신호를 0으로 전송하여 디지털화된 신호를 수정합니다. 윈도우잉(windowing)이라는 방법을 사용하면 그렇게 할 수 있습니다. 다양한 창 기능이 있습니다. 가장 일반적인 것 중 하나는 Hanning 창입니다(그림 2.20). 이에 대한 또 다른 이름은 방정식이 다음과 같기 때문에 "상승된 코사인" 창입니다.

(1)

수식 5

MATLAB과 같은 일부 컴퓨터 프로그램에는 코사인 함수의 N – 1 분모를 N으로 대체하여 창이 N으로 주기적이 되도록 하는 옵션이 있습니다.

예

그림 2.19의 사인파에 해닝 창을 적용하면 그림 2.21의 결과가 생성됩니다. 우리는 몇 가지 사항에 주목해야 합니다. 첫째, 비주기적 신호에서 생성된 FFT에서 발생하는 스퓨리어스 노이즈 수준은 피크 주파수에서 어느 정도 떨어진 주파수 대역에서 크게 감소합니다(원격 대역 누출이라고 함).

그러나 절충안이 있습니다. 주기적인 신호에 대해서도 피크 주파수에 인접한 주파수 대역에 대해서는 PSD 레벨이 증가합니다. 이를 측파대 누출이라고 합니다. 또한 피크의 빈도를 덜 확실하게 만듭니다. 이에 대해서는 주파수 분해능에 대한 다음 강의에서 자세히 설명합니다.

둘째, 윈도우가 시간 샘플에서 신호의 평균 제곱 진폭을 줄였기 때문에 피크 주파수의 PSD 레벨이 감소합니다. 이러한 감소는 PSD 값을 창 함수의 평균 제곱 진폭으로 나누어 수정될 수 있습니다. . 이는 Hanning 창의 경우 0.375이며 일반적으로 PSD 계산에 포함됩니다. 그러면 방정식 3을 다음과 같이 수정할 수 있습니다.

(2)

(3)

수식 6

누설로 인해 일부 피크 값이 측파대로 이동했습니다. 이는 단순히 피크 값을 사용하는 대신 방정식 4를 사용하여 피크 주변 주파수 대역의 평균 제곱 값을 합산하여 설명해야 합니다.

자세히 알아보기: 신호 처리를 위한 창 기능