자동 스펙트럼 밀도(ASD) | 신호처리의 기초

자동 스펙트럼 밀도 함수는 자기 상관 함수 R의 이산시간 푸리에 변환입니다._xx(m). PSD(전력 스펙트럼 밀도)라고도 합니다.

자동 스펙트럼 밀도 함수는 다음과 같이 정의됩니다.

(1) $\begin{방정식*} S_{xx}(\omega)=\text{DTFT}\{R_{xx}(m)\} \end{방정식*}$

(2) $\begin{방정식*} =\sum\nolimits_{m\in\mathbb{Z}}R_{xx}(m)e^{-i\omega n} \end{방정식*}$

PSD는 신호가 자체와 얼마나 연관되어 있는지를 나타냅니다. 평평한 PSD가 있는 신호는 상관 관계가 매우 낮지만 메인 로브가 있는 신호는 어느 정도 상관 관계가 있음을 나타냅니다.

일반적으로 메인 로브가 넓을수록 신호의 상관 관계가 더 커집니다. 주엽이 좁을수록 상관관계가 더 높습니다.

PSD가 플랫한 경우 시퀀스의 샘플은 상관 관계가 없습니다. 백색 잡음의 경우 PSD는 모든 주파수에 대해 1과 같습니다. 각 주파수에서 동일한 전력 밀도를 갖는 신호 분석의 백색 잡음은 각 주파수에서 동일한 전력 밀도를 갖는 물리학의 백색광에 해당합니다.
0Hz에서 단일 스파이크가 있는 PSD는 신호에 큰 DC 오프셋이 존재하기 때문에 발생할 가능성이 높습니다.
헤르츠 단위의 0이 아닌 주파수(F)에서 단일 스파이크가 있는 PSD는 신호가 1/F초의 일정한 간격으로 신호 자체와 상관 관계가 있음을 나타냅니다. 이 상관 관계는 F의 공진 주파수로 인해 발생할 수 있습니다.
메인 로브가 넓을수록 인접한 샘플의 상관 관계가 더 커집니다. 무한한 메인 로브 폭을 갖는 상수 PSD는 전혀 상관 관계가 없으며 신호가 백색 잡음임을 나타냅니다.

실제 시험에서는 실제 ASD를 알 수도 계산할 수도 없습니다. 그러나 ASD 함수가 시간에 따라 변하지 않는 경우(예: 데이터가 고정되어 있음) 실제 PSD를 추정할 수 있습니다.

ASD의 정의에 따르면 S_xx(Ω)는 두 연산자, 즉 DTFT 연산자 F와 기대 연산자 E에 따라 달라집니다.

자동 스펙트럼 밀도 함수는 다음과 같이 정의됩니다.

(3) $\begin{방정식} S_{xx}(\omega)=\text{F}\{R_{xx}(m)\} \end{방정식}$	S의 정의에 따라_xx(ω)
(4) $\begin{방정식} =\text{FE}[x(m)x^{}(0)] \end{방정식*}$	R의 정의에 따라_xx(m)

일반적으로 선형 연산자는 교환 가능하지 않습니다. 즉, FE = EF는 일반적으로 참이 아닙니다. 그러나 광의의 정상 랜덤 시퀀스의 경우 S를 추정할 수 있습니다._xx(Ω) F와 E가 통근하도록 허용:

(5) $\begin{방정식} S_{xx}(\omega)=\text{F}\{R_{xx}(m)\} \end{방정식}$	S의 정의에 따라_xx
(6) $\begin{방정식} =\text{FE}[x(m)x^{}(0)] \end{방정식*}$	R의 정의에 따라_xx(m)
(7) $\begin{방정식} \about\text{EF}[x(m)x^{}(0)] \end{방정식*}$	광각 고정식인 경우

(8) $\begin{방정식*} \about\text{EF}[x(m)]\text{F}[x^{*}(m)] \end{방정식*}$

(9) $\begin{방정식*} =\text{E}|\text{F}[x(m)]|^2 \end{방정식*}$

랜덤 시퀀스 x(m)의 푸리에 변환 F는 랜덤입니다. 그러나 시퀀스의 기대값 E를 취하면 결정론적이 됩니다.

기대 E는 산술 평균을 계산하여 추정할 수 있습니다. 따라서 시퀀스의 절대 푸리에 변환의 평균을 제곱하여 계산하는 것이 ASD를 추정하는 방법입니다.

그러나 실제로 더 나은 추정을 위해서는 먼저 윈도잉을 사용하여 데이터를 평활화하는 것이 필요하다는 것이 밝혀졌습니다.

1890년대부터 ASD를 추정하는 몇 가지 표준 수학적 방법이 있습니다. 이러한 모든 방법은 샘플을 수집한 다음 해당 샘플을 기반으로 추정치를 계산하는 방식에 따라 달라집니다.

위의 논의에서는 Welch의 방법이라는 ASD 추정 방법에 대해 설명합니다. 이는 Peter Welch의 1967년 논문을 기반으로 하며 아마도 업계에서 가장 일반적인 PSD 추정 방법일 것입니다.

Welch 방법에서 데이터 시퀀스는 창 함수로 창 처리된 동일한 길이의 여러 분석 프레임으로 나뉩니다. 창이 있는 프레임은 겹칠 수 있습니다.

FFT(고속 푸리에 변환)는 각 프레임에서 수행되며 FFT 연산의 각 요소는 제곱됩니다(전력 개념과 일치). 마지막으로 제곱된 FFT 세그먼트의 평균을 구해 추정 PSD를 산출합니다.

Parseval의 정리는 시간 샘플의 제곱의 합을 계산하여 시간에 따라 전력을 계산하거나 주파수 샘플의 제곱의 합을 계산하여 주파수에 대해 전력을 계산할 수 있음을 알려줍니다.

위의 논의는 주파수 샘플의 제곱합의 평균을 계산하여 ASD를 추정할 수 있음을 보여줍니다. Parseval의 정리에 따르면 이는 본질적으로 스펙트럼 출력과 동일합니다. 자동 스펙트럼 밀도를 PSD라고도 부르는 이유를 설명합니다.

실제 분석에서 물리적 흔들림이 있는 환경은 공진 피크를 사용하여 해당 주파수의 에너지/전력을 나타냅니다.

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