코히어런스 | 신호처리의 기초

문학에는 코히어런스에 대한 정의가 복잡하고 평범하다는 두 가지 정의가 있습니다.

복합:

(1) $\begin{방정식*} C_{xy}(\omega)=\frac{S_{yx}(\omega)}{\sqrt{S_{xx}(\omega)S_{yy}(\omega)}} \end{방정식*}$

일반:

(2) $\begin{방정식*} \gamma_{xy}^2(\omega)=\frac{|S_{yx}(\omega)|^2}{S_{xx}(\omega)S_{yy}(\omega)} \end{방정식*}$

어디:

- S_xx(f)는 x의 PSD입니다.
- S_yy(f)는 y의 PSD입니다.
- S_yx(f)는 x와 y의 CSD입니다.

ObserVIEW는 현재 복잡한 코히어런스를 제공합니다. 일반적인 코히어런스를 계산하려면 복소 코히어런스의 크기 제곱을 구합니다.

참고

두 가지 정의 중 일반적인 코히어런스가 문헌에서 더 일반적입니다. 그러나 일반적인 코히어런스는 복소 코히어런스의 크기 제곱입니다.

(3) $\begin{방정식*} \gamma_{yx}^2=|C_{yx}(f)|^2 \end{방정식*}$

따라서 일반 코히어런스는 보다 일반적인 복합 코히어런스의 특별한 경우입니다.

애플리케이션

일반적인 코히어런스에는 두 가지 주요 실제 용도가 있습니다.

코히어런스는 전달함수에서 관찰된 피크가 측정 노이즈로 인한 스파이크가 아니라 시험 중인 장치의 공진 주파수라는 신뢰도의 척도입니다. 예를 들어, 전달함수의 주파수 f에서 피크가 관찰된다고 가정합니다. 그런 다음:

γ_yx²		\|C_yx\|	설명
γ_yx²≥ 0.70	또는	\|C_yx\|≥ 0.85	높은 신뢰도
γ_yx²≤ 0.50	또는	\|C_yx\| ≤ 0.707	가능성 없음
0.50 < γ_yx²< 0.70	또는	0.707 < \|C_yx\| < 0.85	어느 정도 가능성 있음

코히어런스는 주파수 f에서 시험 중인 시스템의 선형성을 측정한 것입니다.

1에 가까운 일반적인 코히어런스 값은 시스템이 주파수 f에서 LTI(선형 시 불변)임을 나타냅니다. 0에 가까운 일반적인 코히어런스 값은 시스템이 비선형이며 시간에 따라 또는 두 가지 모두에 따라 통계적으로 변한다는 것을 나타냅니다.

공명 내에서 코히어런스가 떨어지므로 건전한 판단을 내리려면 주변 코히어런스 값을 평가해야 합니다.

선형성의 척도로서의 코히어런스

많은 경우에 신호 x는 시스템에 대한 입력을 나타내고 신호 y는 출력을 나타낼 수 있습니다. 시스템에 대한 입력으로 인해 응답 h[n]이 발생하고 응답의 DTFT가 H(Ω)라고 가정합니다. 시스템이 LTI인 경우 S_yx(ω) = H(ω) S_xx(Ω) 및 S_yy(ω) = |H(ω)|² S_xx(ω).

또한 코히어런스는 다음과 같습니다.

(4) $\begin{방정식*} |C_{xy}(\omega)|\triangleq\left|\frac{S_{xy}(\omega)}{\sqrt{S_{xx}(\omega)S_{yy}(\omega)}}\right| \end{등식*}$

코히어런스 C의 정의에 따라_xy

(5) $\begin{방정식*} =\left|\frac{H(\omega)S_{xx}(\omega)}{\sqrt{S_{xx}(\omega)S_{yy}(\omega)}}\right| \end{등식*}$

(6) $\begin{방정식*} =\frac{|H(\omega)|S_{xx}(\omega)}{\sqrt{S_{xx}(\omega)S_{yy}(\omega)}} \end{방정식*}$

(7) $\begin{방정식*} =\frac{|H(\omega)|S_{xx}(\omega)}{\sqrt{S_{xx}(\omega)|H(\omega)|^2S_{xx}(\omega)}} \end{방정식*}$

(8) $\begin{방정식*} =1 \end{방정식*}$

따라서 LTI 시스템의 경우 일반 코히어런스 γ_yx²(f)는 모든 주파수에 대해 1이 됩니다. 반대로 코히어런스가 1보다 작으면 LTI가 아닙니다. 또한, 만약 γ_yx²(f)는 특정 주파수에서 1이고, 시스템은 해당 주파수에서 LTI입니다.

전달함수 H의 신뢰도 측정으로서의 코히어런스₁

시스템이 S의 주파수 응답을 갖는 LTI인 경우_yx(ω) = H(ω) S_xx(Ω)이면 H(Ω) = S_yx(ω)/S_xx(Ω), 이는 전달함수 H입니다.₁. 따라서 추정기 H가 얼마나 좋은지 측정하고 싶다면₁ 일 가능성이 높으며, 일반적인 코히어런스 함수 γ를 확인할 수 있습니다._yx²(f).

만약 γ_yx²(f)는 전체 또는 거의 모든 주파수에 대해 1이고, 그 다음에는 H입니다._yx1(f)는 좋은 H일 가능성이 높습니다._yx1 추정기. 만약 γ_yx² 가 0에 가까우면 H의 품질에 대한 확신이 훨씬 낮아집니다._yx1 추정기.

H 사이의 거리를 측정하는 코히어런스₁ 및 H₂

보통 코히어런스 함수 γ도 볼 수 있습니다._yx²(f) H 사이의 거리 측정_yx1 및 H_yx2.

(9) $\begin{방정식*} \gamma_{yx}^2=\frac{|S_{yx}|^2}{[S_{xx}S_{yy}]}=\frac{[S_{yx}S_{yx}]}{[S_{ xx}S_{yy}]}=\frac{[S_{yx}(f)/S_{xx}]}{[S_{yy}/S_{yx}]}=\frac{H_{1}}{H_{2}} \end{등식*}$

0 ≤ γ_yx²(f) ≤ 1, 그러면 0 ≤ |H₁/H₂| ≤ 1. 따라서 |H₁(f)| ≤ |H₂(f)|.

참 H가 LTI이면 H₁=H₂- 거리가 0임을 의미 - 및 γ_yx²=1. H가 LTI가 아닌 경우 거리는 0보다 크고 γ_yx²<1.

위의 예에서 |H 사이의 거리는 |₁(435)|=19 및 |H₂(435)|=607은 훌륭합니다. 이는 다음 방정식에 반영됩니다.

γ_yx²(435) = |C_yx(435)|² = (0.007)² =(0.0098)² = (19/607)² = (|H₁|/|H₂|)²

주의사항

이름에서 알 수 있듯이 추정기는 추정치를 산출합니다. 일반적으로 이러한 추정치에는 실제 값과 비교하여 약간의 오류가 포함되어 있습니다. K=1 Welch의 코히어런스 추정보다 이러한 상황에 대한 더 놀라운 예를 찾는 것은 어려울 것입니다.

Welch의 코히어런스 추정치

직사각형 창 K=1 Welch의 코히어런스 추정값과 상관되지 않은 백색 잡음 신호의 실제 코히어런스를 비교합니다. 만약:

x[n] 및 y[n]은 평균 0의 백색 잡음 시퀀스입니다.
x[n]과 y[n]은 서로 상관되지 않습니다.
추정치 Ĉyx(Ω)는 x와 y의 K=1 Welch 추정치입니다.

그러면 Ĉyx(Ω)= 1이 됩니다.

증거:

(10) $\begin{방정식} \gamma_{yx}^2=\frac{\|S_{yx}\|^2}{S_{xx}S_{yy}} \end{방정식}$	일반적인 코히어런스 γ의 정의에 따라_yx(ω)
(11) $\begin{방정식} =\frac{\|[F_{x}(n)][F_{y}(n)]^\|^2}{\|F_{x}(n)\|^2\|F_{y}(n)\|^2} \end{방정식*}$	Welch 알고리즘 사용

(12) $\begin{방정식*} =\frac{|[F_{x}(n)]|^2|[F_{y}(n)]|^2}{|F_{x}(n)|^2|F_{y}(n)|^2} \end{방정식*}$

(13) $\begin{방정식*} = 1 \end{방정식*}$

따라서 K=1 Welch의 코히어런스 추정치는 항상 1입니다. 추정치인데 과연 좋은 추정일까요? 이 질문에 답하기 위해 실제(추정되지 않은) 코히어런스를 계산할 수 있습니다.

(14) $\begin{방정식} \gamma_{yx}^2=\frac{\|S_{yx}\|^2}{S_{xx}S_{yy}} \end{방정식}$	일반적인 코히어런스 γ의 정의에 따라_yx(ω)
(15) $\begin{방정식} =\frac{\|FR_{yx}(m)\|^2}{S_{xx}S_{yy}} \end{방정식}$	CSD S의 정의에 따라_yx(ω)
(16) $\begin{방정식} =\frac{\|FE\lceil x(m)y^(0)\rceil\|^2}{S_{xx}S_{yy}} \end{방정식*}$	상호 상관 R의 정의에 따라_yx(m)
(17) $\begin{방정식} =\frac{\|F\{E\lceilx(m)\rceil E\lceily^(0)\rceil\}\|^2}{S_{xx}S_{yy}} \end{방정식*}$	x와 y는 상관 관계가 없습니다.
(18) $\begin{방정식} =\frac{\|F\{0\times0\}\|^2}{S_{xx}S_{yy}} \end{방정식}$	x[n] 및 y[n]은 평균 0입니다.
(19) $\begin{방정식} \gamma_{yx}^2=0 \end{방정식}$	0의 푸리에 변환 F는 0이기 때문입니다.