복소수

복소수 z는 두 실수 a와 b의 순서쌍입니다. z를 표현하는 세 가지 표준 방법이 있습니다. 즉, 동일한 숫자 z를 나타내는 세 개의 숫자가 있습니다.

1. 순서쌍(a, b)

예: z = (√3, 1)

1. 직사각형 좌표 a + in

예: z = √3 + i1

1. 극좌표 |z|∠z

예: z = |z|∠z = 2e^iπ/6

세 가지 표현에서:

• a는 z의 실수 부분입니다.
• b는 z의 허수부입니다.
• |z| z의 크기는 이다
• ф=∠z는 z의 위상입니다.

화합물의 양은 (a,b)와 ze^iϕ 는 복소수이고 모든 구성 요소(a, b, |z| 및 ф)는 실수입니다.

복소수의 그래픽 표현

복소수는 순서쌍 z=(a, b)이므로 실수부 a를 가로축(x축), 허수부 b를 세로축(y축)으로 하는 2차원 그래프로 표현하는 것이 편리합니다.

표현 간 변환

삼각법 정의와 두 가지 공통 정리를 통해 z의 세 가지 표현 간을 쉽게 변환할 수 있습니다.

• 접선 함수: tan(ψ) = b/a
• 아크탄젠트 함수: ф = atan(b/a)
• 피타고라스의 정리: r² = a² + b²
• 오일러의 정체: e^iϕ = cos(ψ) + isin(ψ)

예

If: z = (a,b) = (√3, 1) = √3 + i 그러면: r = sqrt[(√3)² + (1)²] = √[10] ≒ 3.16 And: ф = atan(√3/1) = π/6 (30°)

If: z = (a,b) = (4, 3) = 4 + 3i 그러면: r = sqrt[4² + 3²] = sqrt[25] = 5 And: ф = atan(3/4) ≒ 0.644 (36.9°)

If: z = (a,b) = (-4, 3) = -4 + 3i 그러면: r = sqrt[4² + 3²] = sqrt[25] = 5 And: ф = atan(-3/4) ≒ π-0.644 (180°-36.9°=143.1°)

성대수학 구조

공액 연산자 *가 있는 복소수는 별 대수학의 특별한 경우입니다. 복소수 z=a+ib의 공액 z*는 z* = a – ib로 정의됩니다. 여기서 z = a + ib입니다.

공액 연산자를 사용하면 복소수 z = a + ib에서 실수 및 허수 구성 요소를 쉽게 추출할 수 있습니다.

• z의 실수 부분= [1/2](x + x*) 왜냐하면 x+x* = (a+ib)+(a-ib)=2a이기 때문입니다.
• z의 허수부= [1/2](x – x*)왜냐하면 x-x* = (a+ib)-(a-ib)=2b이기 때문입니다.