필터링 | 신호처리의 기초

필터는 일부 도메인에 걸쳐 객체의 구성 요소를 구별하는 작업입니다. 예를 들면:

3차원 공간에서 필터링에는 공간 식별이 포함될 수 있습니다. 즉, 깨끗한 물은 통과시키면서 먼지와 기타 큰 입자는 거부합니다.
시간 영역에서 올림픽 예선 경주는 시간적 차별을 사용합니다. 즉, 느린 주자는 거부하고 더 빠른 주자는 허용합니다.

필터링 중

통계에서 필터링은 통계적 차별을 적용합니다. 예를 들어 중앙값 5 필터는 모든 5개 샘플 세트의 중앙값을 허용하고 나머지 4개는 거부합니다. 이러한 필터는 이미지 처리 및 재무 분석에 적용 가능합니다.

중앙값-3 필터 입력

입력: 222322122200

중앙값-3 필터 출력

출력: 2222222220

주파수 영역에서 필터링은 주파수 판별을 적용합니다. 필터는 변경 빈도에 따라 데이터 구성 요소를 거부하거나 허용합니다.

주파수 판별 예 - 입력

입력: 정현파 + DC

주파수 판별 예 - 출력

출력: 정현파만

주파수 식별 필터

빈도에 따라 데이터를 구별하고 싶을 때 필터를 적용합니다.

일반 예

주파수 성분을 거부(제거 또는 필터링)합니다.
주파수 구성요소를 수락(승인 또는 통과)합니다.
일부 구성 요소의 에너지 수준(크기)을 높입니다.

구체적인 예

DC 오프셋 필터링(상수 오프셋)
60Hz 노이즈 필터링(노칭)
마이크, 가속도계 또는 기타 변환기 사양 외부의 구성 요소 필터링
오디오 스피커 또는 기타 가진기 사양을 벗어난 구성 요소 필터링
일부 주파수 대역을 감쇠하고 다른 주파수 대역을 증폭하여 오디오 녹음 균등화
빠르게 변화하는(고주파) 구성요소를 감쇠하여 잡음이 있는 데이터 시퀀스를 평활화

필터 작업 유형

필터는 데이터 시퀀스에 대해 일부 작업을 수행하여 새 시퀀스를 생성합니다. 작업은 무엇이든 될 수 있습니다(또는 ID 작업의 경우 아무 것도 아님). 하지만 엔지니어들이 제목이 있을 정도로 자주 사용하는 필터가 있습니다.

저역 통과 필터

저역 통과 필터는 지정된 코너 주파수(f_c) 아래의 저주파 구성요소를 허용합니다. f_c 통과합니다.

저역 통과 필터 그래프

예를 들어, 저역 통과 필터는 노이즈로 오염된 데이터를 정리(또는 평탄화)하여 패턴을 더욱 쉽게 식별할 수 있습니다.

하이패스 필터

고역 통과 필터는 지정된 코너 주파수 아래의 저주파 성분을 감쇠시키고 그 위의 고주파 성분은 통과시킵니다.

고역 통과 필터

예를 들어 데이터에 DC 오프셋이 큰 경우 코너 주파수가 작은 고역 통과 필터를 사용하면 오프셋을 제거하여 관심 있는 패턴을 더욱 쉽게 확인할 수 있습니다.

대역통과 필터

대역통과 필터는 저주파와 고주파를 감쇠시키고 중간 주파수는 통과시킵니다.

대역통과 필터 그래프

노치 필터

노치 필터는 대역 통과 필터의 반대입니다. 노치 필터는 주파수 대역을 거부하고 거부된 대역 외부의 모든 것을 허용합니다.

노치 필터 그래프

필터 특성

코너 주파수

일반적으로 필터 응답 H(Ω)의 코너 주파수는 주파수 Ωc입니다. 여기서 스펙트럼 전력 |H(Ω)|² |H(Ω)|에서 떨어졌습니다.² = 1 ~ |H(Ω)|² = ½ 또는 |H(Ω)|=1/√2.

코너 주파수 그래프

데시벨(dB) 규모에서 스펙트럼 전력은 10log에서 떨어집니다.₁₀(1) = 0dB:

(1) $\begin{방정식*} 10\log_{10}[|H(\omega c)|^2]=10\log_{10}(1/2) =-10\log_{10}(2) =-10\ln(2)/\ln(10) \about-3.01\text{dB} \end{방정식*}$

롤오프

실제 세계에는 완벽한 필터가 없습니다. 즉, 코너 주파수에 도달한 후 바로 아래로 떨어지는 필터는 없습니다. 대신, 그들은 어떤 경사면에서 굴러갑니다. 주파수 영역의 실제 필터는 절벽이 아니라 언덕과 같습니다. 끝 부분의 언덕 모양의 롤오프는 데이터의 상위 5% 빈도를 유효하지 않게 만듭니다.

필터 작동 방식

컨볼루션을 사용한 시간 필터링

컴퓨터는 주파수 영역 필터링을 수행하기 위해 간단한 산술을 사용하는 경우가 많습니다. 특히 각 출력 y(n)은 입력 x(n)의 선형 조합인 경우가 많습니다. 이러한 유형의 필터링을 컨볼루션이라고 합니다.

예를 들어 직류(DC)를 필터링한다고 가정해 보겠습니다. 입력 x(n)과 출력 y(n)이 있는 간단한 필터는 y(n) = x(n) – x(n-1)을 설정합니다. 그런 다음 입력(x(n) = 상수)의 모든 DC 신호는 y(n) = 상수 – 상수 = 0이므로 필터링됩니다.

참고: 이 필터는 디지털 차별화입니다.

곱셈을 통한 주파수 필터링

엔지니어는 먼저 데이터 시퀀스를 기반으로 투영하여 데이터 시퀀스를 필터링할 수도 있습니다. 종종 이 기준은 사인과 코사인의 시퀀스이며 투영 도구는 FFT(고속 푸리에 변환)입니다.

콘볼루션 정리에 따르면 시간 영역의 데이터 필터링은 간단한 점별 곱셈을 통해 주파수 영역에서 수행될 수 있습니다. 주파수 곱셈을 수행하려면 먼저 FFT를 사용하여 데이터를 시간별로 주파수로 변환해야 합니다.

X(f)는 x(n)의 푸리에 변환입니다.

H(f)는 h(n)의 푸리에 변환입니다.

y(n)은 Y(f)의 역 푸리에 변환입니다.

필터 아키텍처

수학과 공학에서는 다항식을 사용하여 필터링을 합성하는 경우가 많습니다.

수학: 바이어슈트라스 근사 정리(Weierstrass Appimation Theorem)에 따라 닫힌 구간(0 ≤ 시간 ≤ 10)의 모든 연속 함수는 다항식을 사용하여 임의의 정밀도로 근사화될 수 있습니다.

공학: 다항식은 덧셈과 곱셈으로만 구현할 수 있습니다. CPU, DSP, FPGA, ASIC 등의 디지털 논리 게이트를 사용하여 두 작업을 모두 쉽게 구현할 수 있습니다.

예: y = 5x² + 3x + 2는 다음을 의미합니다.

5와 x 및 x를 곱하여 5x를 얻습니다.²
3과 x를 곱하여 3x를 얻습니다.
5배 추가² 그리고 y를 얻기 위해 3x와 2

필터는 종종 z에 대한 다항식으로 설계됩니다. 여기서 z^-n 는 다음과 같은 지연을 나타냅니다. n 샘플. 따라서 z^-n 요소는 간단한 메모리 버퍼를 사용하여 하드웨어에 구현될 수 있습니다.

예

z 영역의 필터에 전달함수가 있는 경우:

(2) $\begin{방정식*} \text{H(z)}=\frac{\text{Y(z)}}{\text{X(z)}} \end{방정식*}$

(3) $\begin{방정식*} =\frac{\frac{3}{2}\text{z}^2+\frac{5}{2}\text{z}+\frac{7}{2}}{\text{z}^2+\text{5z}+6}\times\frac{\text{z}^{-2}}{\text{z}^{-2}} \end{등식*}$

(4) $\begin{방정식*} =\frac{\frac{3}{2}+\frac{5}{2}\text{z}^{-1}+\frac{7}{2}\text{z}^{-2}}{1+5\text{z}^{-1}+6\text{z}^{-2}} \end{방정식*}$

z 도메인 전달함수

그런 다음 z 도메인에서 다음을 수행합니다.

(5) $\begin{방정식*} \text{Y(z)}[1+5\text{z}^{-1}+6\text{z}^{-2}]=\text{X(z)}\left[\frac{3}{2}+\frac{5}{2}\text{z}^{-1}+\frac{7}{2}\text{z}^{-2}\right] \end{방정식*}$

시간 영역에서:

(6) $\begin{방정식*} \text{y(n) + 5y(n-1) + 6y(n-2)}=\frac{3}{2}\text{x(n)}+\frac{5}{2}\text{x(n-1)} + \frac{7}{2}\text{x(n-2)} \end{방정식*}$

따라서 시간 n에서 필터 출력 y(n)은 다음과 같습니다.

(7) $\begin{방정식*} \text{y(n)}=\frac{3}{2}\text{x(n)}+\frac{5}{2}\text{x(n-1)}+\frac{7}{2}\text{x(n-2) - 5y(n-1) - 6y(n-2)} \end{방정식*}$