푸리에 분석(FFT) | 신호처리의 기초

FFT(고속 푸리에 변환)는 시간 영역 데이터를 주파수 영역으로 변환합니다. 단일 데이터 파형을 여러 사인파와 코사인파로 분해합니다. 이 작업은 원래 시간 데이터에 숨겨진 진동을 드러내는 데 도움이 됩니다.

FFT는 DTFT(이산시간 푸리에 변환)라는 수학적 연산을 효율적으로 구현하는 계산 알고리즘입니다.

DTFT는 시간 영역 데이터를 주파수 영역으로 변환합니다. 보다 구체적으로 말하면 N 길이의 시간 데이터 시퀀스를 N 주파수의 정현파에 투영합니다. FFT는 효율적인 계산 방식으로 DTFT와 동일한 수학적 연산을 수행합니다.

예를 들어, 데이터 시퀀스의 길이가 N=1,024라고 가정합니다. DTFT 작업에는 약 N이 필요합니다.²=1,048,576개의 작업이 필요한 반면, FFT에는 약 Nlog가 필요합니다.₂N = 10,240개 작업(약 1/10).

그러나 이 효율성에는 제약이 있습니다. FFT에서는 길이 N이 2의 거듭제곱이 되어야 합니다. 따라서 모든 분석 선 값은 2의 거듭제곱입니다.

FFT는 여러 푸리에 분석 방법 중 하나입니다. 푸리에 분석은 시간 영역 데이터 x(t)를 분리하는 많은 분석 방법 중 하나입니다. 이러한 구성 요소는 일반적으로 일련의 기본 기능에 대한 데이터 투영입니다.

강의 설명 이미지

푸리에 분석의 경우 푸리에 변환 연산자는 투영을 사용하여 데이터를 분해합니다. 결과 구성 요소 집합은 x(t)의 푸리에 변환입니다.

푸리에 변환 기반 함수는 임의의 함수입니다.^-iωt, 여기서 Ω는 임의의 실수(ℝ의 모든 요소)일 수 있습니다.

오일러의 항등식에 따라 각 기본 함수 ψ(Ω)는 실수 및 허수 정현파 부분을 갖습니다. ψ(Ω) = e^-iωt = cos(Ωt) + i sin(Ωt).

다음을 포함한 여러 가지 푸리에 연산자가 있습니다.

(1) $\begin{방정식*} \text{X}(\omega)=\int\nolimit_{t\in\mathbb{R}}x(t)e^{-i\omega t}dt \end{방정식*}$

(2) $\begin{방정식*} \text{X}(\omega)=\sum\nolimits_{n\in\mathbb{Z}}x(n)e^{-i\omega n} \end{방정식*}$

(3) $\begin{방정식*} \text{X}(k)=\sum\nolimits_{n=0…N-1}x(n)e^{-i2\pi kn/N} \end{방정식*}$

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