위상 응답 | 신호처리의 기초

필터 전달함수 H(Ω)의 위상 응답은 주파수 Ω에서 H의 위상(복소수 구성 요소 중 하나)입니다.

전달함수 H(Ω)는 크기 응답 |H(Ω)|을 갖습니다. H(Ω) = |H(Ω)| 전자^iϕ(ω).

복소수 z와 전달함수 H(Ω) 사이의 유일한 차이점은 z는 하나의 복소수인 반면, H(Ω)는 복소수의 전체 함수입니다. 즉, 각 주파수 값 Ω에 대한 복소수입니다.

통과대역 및 저지대역의 크기입니다.

통과대역의 위상입니다.

위상 응답 신호

위상 응답 ψ(Ω)은 모든 주파수 Ω에서 항상 실제 값입니다. 하지만 양수, 음수, 0이면 어떻게 될까요? 위상의 표시는 우리에게 무엇을 말해주는가? 다음은 몇 가지 팁입니다.

ψ(Ω)=0:이면 H(Ω)를 통한 지연이 0이고 H(Ω)는 0위상 필터입니다. 이 시나리오는 필터가 단일 상수 곱셈과 같은 사소한 작업을 수행하는 경우에만 가능합니다. 그렇지 않으면 실시간 신호 처리를 물리적으로 실현할 수 없습니다.

일부 주파수 Ω에 대해 ψ(Ω)<0인 경우 해당 주파수 구성 요소에 지연이 있습니다. 필터 출력은 입력 후에 발생합니다. 이 시나리오를 원인 필터라고 합니다. 실시간 신호처리가 가능합니다. 음의 위상은 위상 지연입니다.

일부 주파수 Ω에 대해 ψ(Ω)>0이면 해당 주파수에 음의 지연이 있습니다. 필터 출력은 입력 전에 발생합니다. 이 시나리오를 비인과 필터라고 합니다. 실시간 신호 처리에서는 구현이 불가능하지만, 입력 데이터가 버퍼링(기록)되면 구현 가능합니다. 입력이 기록됨에 따라 필터는 현재 시간 0을 기준으로 미래 입력을 알고 있습니다. 따라서 현재 시간 0에서 미래 출력을 생성할 수 있습니다. 양수 위상은 위상 리드입니다.

수학적 세부사항

(1) $\begin{방정식} Y(\omega)=H(\omega)X(\omega) \end{방정식}$	컨볼루션 정리에 의해
(2) $\begin{방정식} =\|H(\omega)\|e^{i\phi(\omega)}X(\omega) \end{방정식}$	크기와 위상의 정의에 따라
(3) $\begin{방정식} =\|H(\omega)\|e^{i\phi(\omega)}FT[x(t)] \end{방정식}$	X(Ω)의 정의에 따라
(4) $\begin{방정식} =\|H(\omega)\|e^{i\phi(\omega)}\int\nolimits_{t}x(t)e^{-i\omega t}dt \end{방정식}$	x(t)의 푸리에 변환 정의에 따라
(5) $\begin{방정식} =\|H(\omega)\|\int\nolimits_{t}x(t)e^{i\phi(\omega)}e^{-i\omega t}dt \end{방정식}$	왜냐하면^iϕ(ω) 는 t의 함수가 아닙니다.
(6) $\begin{방정식} =\|H(\omega)\|\int\nolimits_{t}x(t)e^{-i\omega[t-\phi(\omega)]}dt \end{방정식}$	왜냐하면^xe^y=e^x+y
(7) $\begin{방정식} =\|H(\omega)\|\int\nolimits_{u}x[u+\phi(\omega)]e^{-i\omega u}du \end{방정식}$	여기서 u=t-ψ(Ω)이므로 t=u+ψ(Ω) 및 dt=du
(8) $\begin{방정식} =\|H(\omega)\|FT[x(u+\phi(\omega))] \end{방정식}$	x(u+a)의 푸리에 변환 정의에 따라
(9) $\begin{방정식} =\|H(\omega)\|FT[x(t+\phi(\omega))] \end{방정식}$	더미 변수 변경(u에서 t)