차분 양자화와 델타 변조

이전 강의에서는 샘플당 비트 수를 늘리거나 샘플 속도를 높여 신호 대 양자화 잡음 비율(SQNR)을 높일 수 있다는 것을 확인했습니다. 세 번째 방법은 변조 기술을 변경하는 것입니다.

펄스 코드 변조

이전 수업에서는 수학에서 샘플링이 PCM(펄스 코드 변조) 기술을 사용하여 수행된다고 가정했습니다. PCM은 샘플 주기(𝜏)마다 신호 파형 𝗑(𝑡)을 양자화하고 샘플 시퀀스 𝗒(𝑛) ≜ 𝖰[𝗑(𝑛𝜏)]을 생성합니다.

널리 사용되지만 PCM은 대역이 제한된 파형이 높은 샘플링 속도에서 빠르게 변경될 수 없다는 사실을 무시합니다. 만약 그렇다면 고주파 콘텐츠를 갖게 되며 대역 제한이 적용되지 않습니다.

미분 양자화

대역 제한 신호는 빠르게 변경될 수 없으므로 연속 샘플 간의 차이는 상대적으로 작아야 합니다. 따라서 각 원시 샘플 𝗑(𝑛)을 양자화하는 것이 아니라 연속된 샘플 간의 차이 𝗑(𝑛) − 𝗑(𝑛 − 1)을 양자화해야 합니다.

차이를 양자화하여 샘플링하는 것을 차동 양자화라고 합니다. 차동 양자화에는 동일한 SQNR 값에 대해 더 적은 비트가 필요합니다.

지금까지 이 설명은 질적, 직관적인 근거를 바탕으로 작성되었습니다. 정량적 분석을 위해서는 연속된 두 샘플의 차이에 대한 분산을 샘플링한 후 PCM 기반 샘플링의 분산과 비교해야 합니다.

방법 선택

다음 제안은 최선의 방법이 신호의 상관 관계에 따라 달라진다는 것을 보여줍니다. 대역폭에 비해 높은 샘플링 속도에서 예상할 수 있듯이 신호의 상관 관계가 높은 경우 차동 접근 방식은 분산이 더 낮은(왜곡이 적은) 경향이 있습니다. 낮은 샘플링 속도에서 예상할 수 있듯이 신호의 상관 관계가 높지 않은 경우 PCM 접근 방식은 왜곡을 덜 발생시키는 경향이 있습니다.

제안

Rxx(m)을 x(n)의 자기상관으로 두고,
Yxx (m) ≜ [ Rxx (m)] / (𝜎x ) 2는 x(n)의 자기공분산입니다.
(𝜎x ) 2 는 x(n)의 분산이고
(𝜎d ) 2는 x(n) – x(n-1)의 분산입니다(차등 양자화 사용).

그런 다음:

(1) $\begin{방정식*} (\sigma_{d})^2=2(\sigma_{x})^2[1-y_{xx}(1)] \end{방정식*}$

증명

(2) $\begin{방정식} (\sigma_{d})^2\triangleq\text{E}([x(n)-(\sigma_{d})^2]b) \end{방정식}$	분산 σ의 정의에 따라²
(3) $\begin{방정식} =\text{E}[x^2(n)]-2\text{E}[x(n)\times(n-1)]+\text{E}[x^2(n-1)] \end{방정식}$	이항 정리에 의해
(4) $\begin{방정식} =2\text{E}[x^2(n)]-2\text{E}[x(n)\times(n-1)] \end{방정식}$	광범위한 고정특성으로
(5) $\begin{방정식} =2(\sigma_{x})^2-2\text{E}[x(n)\times(n-1)] \end{방정식}$	분산 σ의 정의에 따라²
(6) $\begin{방정식} =2[(\sigma_{x})^2-\text{R}_{xx}(1)] \end{방정식}$	R의 정의에 따라_xx(m)
(7) $\begin{방정식} =2[(\sigma_{x})^2-(\sigma_{x})^2\text{y}_{xx}(1)] \end{방정식}$	y의 정의에 따라_xx(m)
(8) $\begin{방정식} =2[(\sigma_{x})^2(1-\text{y}_{xx}(1))] \end{방정식}$	y의 정의에 따라_xx(m)