샘플 수열의 DTFT | 샘플링과 복원

신호가 있다고 가정 x(t) 푸리에 변환을 사용하여 $\tilde{X}(\omega)$ . 신호는 𝜏초마다 샘플링되어 시퀀스 y(n) = x(n𝜏). 샘플링된 시퀀스에서 계산을 통해 다음이 산출됩니다. 이산시간 푸리에 변환 (DTFT) $\tilde{Y}(\omega)$ y(n).

둘 다 푸리에 변환 $\tilde{X}(\omega)$ 및 DTFT $\tilde{Y}(\omega)$ 이(가) 확인되었습니다. 두 개의 서로 다른 변환 정의에서 발생하지만 동일한 신호 x(t).

이 질문은 다음과 같습니다. $\tilde{X}(\omega)$ 그리고 $\tilde{Y}(\omega)$ 뭔가 비슷해 보이나요? 대답은 '예'입니다. 사실, $\tilde{Y}(\omega)$ 다음의 크기가 조정되고 반복되는 버전처럼 보입니다. $\tilde{X}(\omega)$ . 아래의 정리 1과 예 1은 그 이유에 대해 보다 정확한 설명을 제공합니다.

정리 1

샘플링된 파형의 푸리에 변환 측면에서 샘플링된 시퀀스의 DTFT를 정의합니다.

𝗒(𝑛) ≜ 𝗑(𝑛𝜏)을 파형 𝗑(𝑡)의 샘플 시퀀스로 둡니다. 𝖥_s = 1/𝜏은 샘플링 속도입니다. 𝖸̆(𝜔)는 𝗒(𝑛)의 DTFT이고 𝖷̃(𝜔)는 𝗑(𝑡)의 푸리에 변환입니다. 그런 다음:

(1) $\begin{방정식*} \tilde{Y}(\omega)=\sqrt{2\pi}F_{s}\sum_{n\in\mathbb{Z}}\tilde{X}(F_{s}[\omega-2\pi n]) \end{방정식*}$

증명

이 정리는 파형에 일련의 임펄스 함수를 곱하는 것과 같은 "엔지니어링 해킹" 방법론을 사용하지 않고는 증명하기 어렵습니다. 그러나 다소 모호하지만 강력한 역 포아송 합산 공식(IPSF)을 활용하면 증명을 관리할 수 있습니다.

(2) $\begin{방정식} \tilde{Y}(\omega)\triangleq\sum_{n\in\mathbb{Z}}y(n)e^{-i\omega n} \end{방정식}$	DTFT의 정의에 따라
(3) $\begin{방정식} =\sum_{n\in\mathbb{Z}}x(n\tau)e^{-i\omega n} \end{방정식}$	y(n)의 정의에 따라
(4) $\begin{방정식} =\sum_{n\in\mathbb{Z}}x(n\tau)e^{-i\frac{\omega}{\tau}n\tau} \end{방정식}$	τ/τ = 1이기 때문입니다.
(5) $\begin{방정식} =\frac{\sqrt{2\pi}}{\tau}\sum_{n\in\mathbb{Z}}\tilde{X}\left(\frac{\omega}{\tau}+\frac{2\pi}{\tau}n\right) \end{방정식}$	IPSF 제공
(6) $\begin{방정식} =\sqrt{2\pi}\text{F}_{s}\sum_{n\in\mathbb{Z}}\tilde{X}(\text{F}_{s}[\omega-2\pi n])\text{ by }\text{F}_{s}=1/\tau \end{방정식}$	및 절대 합산성

샘플 시퀀스의 DTFT는 원래 파형의 푸리에 변환입니다. 그것은:

2𝜋 라디안마다 반복됩니다(이산 세계 주파수에서는 2 × 𝖥마다)._s Hz(실제 주파수)
𝖥배로 확장됨(더 좁아짐)_s
√2𝜋𝖥 배율로 조정(더 커짐)_s

그림 2.1-2.4는 Fs = 4 x fh의 샘플링 속도로 샘플링된 파형의 주파수 성분을 추출하는 방법을 보여줍니다.

그림 2.1. 시간 파형 x(t).

그림 2.2. 샘플 시퀀스.

그림 2.3. 푸리에 변환.

그림 2.4. y(n)의 DTFT입니다.

이 단원의 예 4~7과 다음 단원에서는 정리 1의 중요성을 보여줍니다.

샘플링된 파형의 주파수 성분(예 4)

F_s = 4 x f_h

그림 2.1에 표시된 시간 파형을 고려하면 다음과 같습니다.

(7) $\begin{방정식*} x(t)=\frac{1}{\sqrt2\pi}\left[\frac{sin(t/2)}{t/2}\right]^2 \triangleq \frac{1}{\sqrt2\pi}\text{sinc}^2\left(\frac{t}{2}\right) \end{방정식*}$

푸리에 변환 𝖷̃(𝜔)은 그림 2.3에 표시된 삼각형 함수입니다. 가장 높은 주파수 성분은 𝜔h = 1라디안/초 또는 𝖿h = 1/2𝜋Hz. 따라서 최소 샘플링 속도는 𝖥입니다.s ≥ 2 × 𝖿h = 1/𝜋이며 최대 샘플 기간은 𝜏 ≤ 𝖥입니다._s = 𝜋.

𝖥에서 샘플링된 파형 𝗑(𝑡)_s ≜ 4 × 𝖿_h = 4 × 1/2𝜋 = 2/𝜋(샘플 기간 𝜏 = 1/𝖥 제공)_s = 𝜋/2)는 그림 2.2에 나와 있습니다.

이 샘플링 속도와 정리 1을 사용하면 𝗒(𝑛)의 DTFT 𝖸̃(𝜔)는 𝖷̃(𝜔)의 반복 및 크기 조정 버전입니다. 이는 다음과 같이 표현됩니다.

(8) $\begin{방정식*} \tilde{Y}(\omega)=\sqrt{2\pi}F_{s}\sum_{n\in\mathbb{Z}}\tilde{X}(F_{s}[\omega-2\pi n]) \end{방정식*}$

(9) $\begin{방정식*} =\frac{2\sqrt{2\pi}}{\pi}\sum_{n\in\mathbb{Z}}\tilde{X}\left(\frac{2}{\pi}[\omega-2\pi n]\right) \end{방정식*}$

결론

𝖷̃(𝜔)는 2𝜋마다 반복됩니다(이는 정의에 따라 모든 DTFT에 해당됩니다).
𝖷̃ (𝜔)는 (2/𝜋) 𝜔 = 1 또는 𝜔 = 𝜋/2일 때 0에 도달합니다. 샘플링 속도가 높을수록 𝖥_s, 그림 2.3에 표시된 삼각형의 폭이 좁아질수록
각 삼각형의 높이는 다음과 같습니다. $2\sqrt{2\pi}/\pi$ 또는 약 1.596입니다. 샘플링 속도가 높을수록 𝖥_s, 그림 2.3에 표시된 삼각형이 높을수록

정리 1

증명

샘플링된 파형의 주파수 성분(예 4)

결론

시험 조건을 실제 장비에 적용해 보세요.