샘플 수열의 푸리에 변환

정리 1에 따르면 𝖸̃(𝜔)은 샘플 시퀀스 𝗒(𝑛)의 이산시간 푸리에 변환입니다. 해당 샘플 시퀀스의 푸리에 변환은 무엇입니까?

먼저 푸리에 변환은 ℝ 또는 ℂ(실수 또는 복소수) 이상의 함수에 대해 정의됩니다. 정수 집합 ℤ에 대한 함수인 시퀀스에 대해서는 정의되지 않습니다.

그러나 이러한 변환을 계산하려는 시도에서 무한 지원 Dirac 델타 𝛿(𝑡)를 사용하여 빗 기능 𝗑𝑑(𝑡)을 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

(1) $\begin{방정식*} x_{d}(t)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}x(n\tau)\delta(t-n\tau) \end{방정식*}$

실제 ADC/DAC가 무한 전압 처리를 구현할 수 없다는 점을 무시하고 다음 방정식은 샘플링된 시퀀스의 푸리에 변환에 대한 수학적 정의로 이어집니다. 결과는 정리 1의 DTFT와 형태가 유사합니다.

(2) $\begin{방정식} \tilde{Y}(\omega)=\int_{t\in\mathbb{R}}\text{x}_{d}(t)e^{-i\omega t}dt \end{방정식}$	FT의 정의에 따라
(3) $\begin{방정식} =\int_{t\in\mathbb{R}}\left[\sum_{n\in Z}x(t)\delta(t-n\tau)\right]e^{-i\omega t}dt \end{방정식}$	x의 정의에 따라_d(t)
(4) $\begin{방정식} =\sum_{n\in Z}\int_{t\in\mathbb{R}}x(t)\delta(t-n\tau)e^{-i\omega t}dt \end{방정식}$	dt의 t에 대한 적분의 선형성에 의해
(5) $\begin{방정식} =\sum_{n\in Z}x(n\tau)e^{-i\omega n\tau} \end{방정식}$	δ(t)의 정의에 따라
(6) $\begin{방정식} =\frac{2\pi}{\tau}\sum_{n\in Z}\tilde{X}\left(\omega+\frac{2\pi}{\tau}n\right) \end{방정식}$	IPSF 제공
(7) $\begin{방정식} =\frac{2\pi}{\tau}\sum_{n\in Z}\tilde{X}\left(\omega-\frac{2\pi}{\tau}n\right) \end{방정식}$	절대 합산성 속성에 따라
(8) $\begin{방정식} =2\pi \text{F}_{s}\sum_{n\in Z}\tilde{X}(\omega-2\pi \text{F}_{s}n) \end{방정식}$	샘플링 속도 F의 정의에 따라_s

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