나이퀴스트 레이트 샘플링

예제 1에서는 시간 파형 x(t)가 𝖥s = 4 × 𝖿h에서 샘플링되었습니다. 결과 DTFT 스펙트럼 이미지는 DTFT 주파수 영역에 분산되었습니다.

이러한 결과를 살펴보면 최소 샘플링 속도가 𝖥s = 2 × 𝖿h임을 알 수 있습니다. 그보다 적으면 스펙트럼 이미지가 겹칠 수 있습니다.

𝖥s = 2 × 𝖿h 비율을 나이퀴스트 비율이라고 합니다. 예제 5는 예제 4와 유사하지만 샘플링 속도 𝖥s가 나이퀴스트 속도로 감소됩니다.

나이퀴스트 속도로 샘플링된 파형의 주파수 성분(예 5)

그림 2.1에 표시된 시간 파형을 고려하면 다음과 같습니다.

(1) $\begin{방정식*} x(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left[\frac{\sin(t/2)}{t/2}\right]^2 \triangleq \frac{1}{\sqrt{2\pi}}sinc^2\left(\frac{t}{2}\right) \end{방정식*}$

푸리에 변환 𝖷̃(𝜔)은 𝖿h = 1/2𝜋Hz의 가장 높은 주파수 구성 요소를 갖는 그림 2.3에 표시된 삼각 함수입니다.

𝖥s ≜ 2 × 𝖿h = 4 × 1/2𝜋 = 1/𝜋에서 샘플링된 파형 x(t)는 𝜏 = 1/𝖥s = 𝜋의 샘플링 주기를 제공하며 그림 2.5에 나와 있습니다.

그림 2.5. 샘플 시퀀스.

이 샘플링 속도와 정리 1을 사용하여 y(n)의 DTFT 𝖸̃(𝜔)는 다음과 같이 표현됩니다.

(2) $\begin{방정식*} \tilde{Y}(\omega)=\sqrt{2\pi}F_{s}\sum_{n\in\mathbb{Z}}\tilde{X}(F_{s}[\omega-2\pi n]) \end{방정식*}$

(3) $\begin{방정식*} =\frac{\sqrt{2\pi}}{\pi}\sum_{n\in\mathbb{Z}}\tilde{X}\left(\frac{1}{\pi}[\omega-2\pi n]\right) \end{방정식*}$

결론

𝖷̃(𝜔)는 2𝜋마다 반복됩니다(모든 DTFT에 해당).
𝖷̃(𝜔)는 (1/𝜋) 𝜔 = 1 또는 𝜔 = 𝜋일 때 0에 도달합니다.
각 삼각형의 높이는 다음과 같습니다. $\frac{\sqrt{2\pi}}{\pi}$ 또는 약 0.798(그림 2.6 및 2.7 참조)

그림 2.6. 푸리에 변환.

그림 2.7. DTFT.

나이퀴스트 속도로 샘플링된 파형의 주파수 성분(예 5)

결론

시험 조건을 실제 장비에 적용해 보세요.