부족샘플링과 앨리어싱 | 샘플링과 복원

이전 강의에서 설명한 것처럼 나이퀴스트 속도보다 낮은 샘플링을 언더샘플링이라고 합니다. DTFT 주파수 영역에서 신호의 여러 복사본이 겹치면 앨리어싱이라는 현상이 발생할 수 있습니다. 앨리어싱이 발생하면 고주파수 구성요소가 다른 저주파 구성요소의 앨리어싱을 갖게 됩니다.

언더샘플링된 파형의 주파수 성분(예 7)

그림 2.1에 표시된 시간 파형을 고려하면 다음과 같습니다.

(1) $\begin{방정식*} x(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left[\frac{sin(t/2)}{t/2}\right]^2 \triangleq \frac{1}{\sqrt{2\pi}}sinc^2\left(\frac{t}{2}\right) \end{방정식*}$

푸리에 변환 𝖷̃(𝜔)은 그림 2.6에 표시된 삼각형 함수이며, 여기서 가장 높은 주파수 구성 요소는 𝖿h = 1/2𝜋Hz입니다.

𝖥s ≜ 1 × 𝖿h = 1/2𝜋에서 샘플링된 파형 x(t)는 𝜏 = 1/𝖥s = 2𝜋의 샘플링 주기를 제공하며 그림 2.9에 나와 있습니다. 언더샘플링의 예입니다.

그림 2.9. 과소샘플링된 시퀀스.

t=0의 중앙 샘플을 제외하고 모든 샘플은 0입니다. 이 시퀀스는 주파수 𝜔 전체에서 일정한 DTFT를 생성합니다.

동일한 샘플링 속도를 사용하고 정리 1을 적용하면 DTFT의 주파수 영역에서 겹치거나 별칭이 되는 y(n)의 DTFT 𝖸̃(𝜔)가 생성됩니다. 이는 다음과 같이 표현됩니다.

(2) $\begin{방정식*} \tilde{X}(\omega)=\sqrt{2\pi}F_{s}\sum_{n\in\mathbb{Z}}\tilde{X}(F_{s}[\omega-2\pi n]) \end{방정식*}$

(3) $\begin{방정식*} =\frac{\sqrt{2\pi}}{2\pi}\sum_{n\in\mathbb{Z}}\tilde{X}\left(\frac{1}{2\pi}[\omega-2\pi n]\right) \end{방정식*}$

결론

𝖷̃(𝜔)는 2𝜋마다 반복됩니다(모든 DTFT에 해당).
𝖷̃(𝜔)은 (1/2𝜋) 𝜔 = 1…즉, 𝜔 = 2𝜋일 때 0입니다.
각 삼각형의 높이는 다음과 같습니다. $\sqrt{2\pi}/2\pi$ 또는 약 0.399
스펙트럼 내용은 상수입니다(아래 그림 2.10에서 빨간색 실선으로 표시됨).

그림 2.10. 언더샘플링된 DTFT.

언더샘플링된 파형의 주파수 성분(예 7)

결론

시험 조건을 실제 장비에 적용해 보세요.