Sinc 보간을 이용한 완전 파형 복원

이전 파형 근사 방법은 샘플링 속도를 무한대로 증가시켜 가까운 근사를 달성할 수 있음을 보여줍니다. 이는 기능 분석이라는 수학적 분야의 중요한 결과입니다.

그러나 디지털 시스템은 무한한 속도나 그에 가까운 속도로 샘플링하지 않습니다. 따라서 목표는 합리적인 속도로 샘플링하면서도 원래 파형을 완벽하게 재구성/합성하는 것입니다.

"합성이 가능한가요?" 대답은 '예'입니다. 이는 수학에서 가장 놀라운 결과 중 하나이자 DSP에서 가장 근본적인 결과 중 하나입니다. 샘플링 정리에 따르면 샘플링 속도가 샘플링된 파형의 가장 높은 주파수 구성 요소의 두 배 이상인 경우 완벽한 재구성이 가능합니다.

정리 2

샘플링 정리

수학적으로 샘플링 정리는 일련의 sinc 함수("기본 계열"이라고 함)가 대역 제한 함수 𝗑(𝑡) …의 기초이며, 𝗑(𝑡)을 기초에 투영하기 위한 계수는 𝗑(𝑡)의 샘플 𝗑(𝑛𝜏)이라고 명시합니다.

이전 강의에서 본 것처럼 샘플 간 다항식 보간을 통해 원래 코사인 파형에 근접한 결과를 얻을 수 있습니다. 반면에 Sinc 보간은 완벽한 재구성 결과를 가져옵니다. 아래 그래프를 참조하세요.

2 x F(s)

4 x F(s)

6 x F(s)